INTEGRAL TERTENTU BERSAMA SIFAT-SIFATNYA BESERTA CONTOH SOALNYA

 

Contoh Soal Pilihan Ganda dan Pembahasannya dari Integrasi Tertentu

Soal Nomor 1
Nilai dari ${\int }_{-1}^2(x^2-3)\text{d}x$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $-12$                  C. $0$                   E. $12$
B. $-6$                    D. $6$

Pembahasan

Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh
$$\begin{array}{cc}{\int }_{-1}^2(x^2-3)\text{d}x& ={[\frac{1}{3}{x}^3-3x]}_{-1}^2\\ & =\left(\frac{1}{3}\right(2{)}^3-3\left(2\right))-\left(\frac{1}{3}\right(-1{)}^3-3(-1))\\ & =(\frac{8}{3}-6)-(-\frac{1}{3}+3)\\ & =\frac{8}{3}+\frac{1}{3}-6-3\\ & =\frac{9}{3}-9=-6\end{array}$$Jadi, nilai dari ${\int }_{-1}^2(x^2-3)\text{d}x=-6$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 2
Nilai dari ${\int }_{-1}^1(-x^3+2x-1{)}^2\text{d}x$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $\frac{332}{105}$                   D. $\frac{372}{105}$
B. $\frac{342}{105}$                   E. $\frac{392}{105}$
C. $\frac{352}{105}$

Pembahasan

Jabarkan terlebih dahulu bentuk $(-x^3+2x-1{)}^2$ menggunakan $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$, yang dalam hal ini $a=-x^3$ dan $b=2x-1$.
$\begin{array}{cc}& (-x^3+2x-1{)}^2\\ & =(-x^3{)}^2+2(-x^3\left)\right(2x-1)+(2x-1{)}^2\\ & =x^6-4x^4+2x^3+4x^2-4x+1\end{array}$
Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh
$$\begin{array}{cc}{\int }_{-1}^1(-x^3+2x-1{)}^2\text{d}x& ={\int }_{-1}^1(x^6-4x^4+2x^3+4x^2-4x+1)\text{d}x\\ & ={[\frac{1}{7}{x}^7-\frac{4}{5}{x}^5+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{4}{3}{x}^3-2x^2+x]}_{-1}^1\\ & =\left(\frac{1}{7}\right(1{)}^7-\frac{4}{5}(1{)}^5+\frac{1}{2}(1{)}^2+\frac{4}{3}(1{)}^3-2(1{)}^2+\left(1\right))-\left(\frac{1}{7}\right(-1{)}^7-\frac{4}{5}(-1{)}^5+\frac{1}{2}(-1{)}^2+\frac{4}{3}(-1{)}^3-2(-1{)}^2+(-1))\\ & =(\frac{1}{7}-\frac{4}{5}+\frac{1}{2}+\frac{4}{3}-2+1)-(-\frac{1}{7}+\frac{4}{5}+\frac{1}{2}-\frac{4}{3}-2-1)\\ & =\frac{2}{7}-\frac{8}{5}+0+\frac{8}{3}+0+2\\ & =\frac{30}{105}-\frac{168}{105}+\frac{280}{105}+\frac{210}{105}\\ & =\frac{352}{105}\end{array}$$Jadi, nilai dari ${\int }_{-1}^1(-x^3+2x-1{)}^2\text{d}x=\frac{352}{105}$
(Jawaban C)

Soal Nomor 3
Nilai dari ${\int }_1^4(5x^2-6\sqrt{x}+\frac{2}{x^2})\text{d}x$ sama dengan $\cdots \cdots$
A. $75\frac{1}{2}$                      D. $78\frac{1}{2}$
B. $76\frac{1}{2}$                      E. $80$
C. $78\frac{1}{4}$

Pembahasan

Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh
$$\begin{array}{cc}{\int }_1^4(5x^2-6\sqrt{x}+\frac{2}{x^2})\text{d}x& ={\int }_1^4(5x^2-6x^{1/2}+2x^{-2})\text{d}x\\ & ={[\frac{5}{3}{x}^3-\frac{6}{3/2}{x}^{3/2}+\frac{2}{-1}{x}^{-1}]}_1^4\\ & ={[\frac{5}{3}{x}^3-4x^{3/2}-\frac{2}{x}]}_1^4\\ & =\left(\frac{5}{3}\right(4{)}^3-4(4{)}^{3/2}-\frac{2}{4})-\left(\frac{5}{3}\right(1{)}^3-4(1{)}^{3/2}-\frac{2}{1})\\ & =(\frac{320}{3}-32-\frac{1}{2})-(\frac{5}{3}-4-2)\\ & =\frac{315}{3}-26-\frac{1}{2}\\ & =105-26-\frac{1}{2}\\ & =78\frac{1}{2}\end{array}$$Jadi, nilai dari ${\int }_1^4(5x^2-6\sqrt{x}+\frac{2}{x^2})\text{d}x=78\frac{1}{2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika ${\int }_1^{4}f\left(x\right)\text{d}x=6$, maka nilai ${\int }_1^{4}f(5-x)\text{d}x=\cdots \cdot$
A. $6$                   C. $0$                    E. $-6$
B. $3$                   D. $-1$

Pembahasan

Diketahui ${\int }_1^{4}f\left(x\right)\text{d}x=6$.
Misalkan $u=5-x$, sehingga $\text{d}u=(-1)\text{d}x$ atau ekuivalen dengan $\text{d}x=-\text{d}u$.
Batas atas integral dengan variabel $u$ menjadi
$u=5-x=5-4=1$.
Batas bawahnya menjadi
$u=5-x=5-1=4$.
Dengan demikian,
$\begin{array}{cc}{\int }_1^{4}f(5-x)\text{d}x& ={\int }_4^{1}f\left(u\right)(-\text{d}u)\\ \text{Balikkan batas}& \text{integralnya}\\ & =-{\int }_1^{4}f\left(u\right)(-\text{d}u)\\ & ={\int }_1^{4}f\left(u\right)\text{d}u=6\end{array}$
Ingat bahwa:
${\int }_1^{4}f\left(x\right)\text{d}x={\int }_1^{4}f\left(u\right)\text{d}u$
(mengganti variabel secara bersama tidak mengubah hasil integrasi).
Jadi, nilai dari ${\int }_1^{4}f\left(x\right)\text{d}x=6$
(Jawaban A)

Soal Nomor 5
Nilai $a$ yang memenuhi ${\int }_1^a(2x+3)\text{d}x=6$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-5$                   C. $3$                  E. $10$
B. $2$                       D. $5$

Pembahasan

Dengan menggunakan cara yang sama seperti menentukan nilai sebuah integral tentu, kita peroleh
$\begin{array}{cc}{\int }_1^a(2x+3)\text{d}x& =6\\ {[x^2+3x]}_1^a& =6\\ (a^2+3a)-\left(\right(1{)}^2+3\left(1\right))& =6\\ a^2+3a-10& =0\\ (a+5)(a-2)& =0\end{array}$
Diperoleh nilai $a=-5$ atau $a=2$.
Karena $a$ merupakan batas atas integral yang nilainya harus lebih besar dari batas bawahnya, yaitu $1$, maka kita ambil $a=2$.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 6
Nilai $p$ yang memenuhi ${\int }_0^4(3x^2+px-3)\text{d}x=68$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                     C. $2$                  E. $5$
B. $1$                     D. $4$

Pembahasan

Dengan menggunakan cara yang sama seperti menentukan hasil integral tentu, kita peroleh
$\begin{array}{cc}{\int }_0^4(3x^2+px-3)\text{d}x& =68\\ {[x^3+\frac{p}{2}{x}^2-3x]}_0^4& =68\\ (4^3+\frac{p}{2}\cdot {4^2}^8-3(4\left)\right)-0& =68\\ 64+8p-12& =68\\ 52+8p& =68\\ 8p& =16\\ p& =2\end{array}$
Jadi, nilai $p=2$
(Jawaban C)

Soal Nomor 7
Hasil dari ${\int }_9^{16}\frac{2+x}{2\sqrt{x}}\text{d}x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\frac{8}{3}$                     C. $\frac{14}{3}$                  E. $\frac{43}{3}$
B. $\frac{11}{3}$                   D. $\frac{17}{3}$

Pembahasan

Ubah bentuk integrannya terlebih dahulu.
$\begin{array}{cc}\frac{2+x}{2\sqrt{x}}& =\frac{2}{2\sqrt{x}}+\frac{x}{2\sqrt{x}}\\ & =x^{-1/2}+\frac{1}{2}{x}^{1/2}\end{array}$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{array}{cc}{\int }_9^{16}\frac{2+x}{2\sqrt{x}}\text{d}x& ={\int }_9^{16}(x^{-1/2}+\frac{1}{2}{x}^{1/2})\text{d}x\\ & ={[\frac{1}{1+(-1/2)}{x}^{-1/2+1}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1+1/2}{x}^{1/2+1}]}_9^{16}\\ & ={[2x^{1/2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}{x}^{3/2}]}_9^{16}\\ & ={[2x^{1/2}+\frac{1}{3}{x}^{3/2}]}_9^{16}\\ & =\left(2\right(16{)}^{1/2}+\frac{1}{3}\left(16{)}^{3/2}\right)-\left(2\right(9{)}^{1/2}+\frac{1}{3}\left(9{)}^{3/2}\right)\\ & =2\left(4\right)+\frac{1}{3}\left(64\right)-2\left(3\right)-\frac{1}{3}\left(27\right)\\ & =8+\frac{64}{3}-6-9\\ & =-7+\frac{64}{3}=\frac{43}{3}\end{array}$$Jadi, nilai dari ${\int }_9^{16}\frac{2+x}{2\sqrt{x}}\text{d}x=\frac{43}{3}$
(Jawaban E)

Soal Nomor 8
Jika $f$ dan $g$ adalah fungsi-fungsi kontinu, dan $f\left(x\right)\ge 0$, untuk semua bilangan real $x$, manakah dari pernyataan berikut ini yang benar?
$$\begin{array}{cc}& \text{I.}{\int }_a^{b}f\left(x\right)g\left(x\right)\text{d}x=\left({\int }_a^{b}f\right(x\left)\text{d}x\right)\left({\int }_a^{b}g\right(x\left)\text{d}x\right)\\ & \text{II.}{\int }_a^b\left(f\right(x)+g(x\left)\right)={\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x+{\int }_a^{b}g\left(x\right)\text{d}x\\ & \text{III.}{\int }_a^b\sqrt{f\left(x\right)}\text{d}x=\sqrt{{\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x}\end{array}$$A. I saja
B. II saja
C. III saja
D. II dan III
E. I, II, dan III

Pembahasan

Periksa pernyataan I:
Kelinearan dalam integral tidak berlaku untuk perkalian dua atau lebih fungsi. Dengan kata lain,
$${\int }_a^{b}f\left(x\right)g\left(x\right)\text{d}x\ne \left({\int }_a^{b}f\right(x\left)\text{d}x\right)\left({\int }_a^{b}g\right(x\left)\text{d}x\right)$$Periksa pernyataan II:
Pernyataan ini benar. Sifat ini dikenal sebagai kelinearan dalam integral (berlaku untuk penjumlahan dan pengurangan fungsi-fungsi).
Periksa pernyataan III:
Notasi akar dari fungsi (integran) tidak boleh ditarik keluar (kita seolah-olah mencari nilai dari integral tentu fungsi tersebut (tanpa notasi akar), lalu mengakarkan nilainya). Dengan kata lain,
${\int }_a^b\sqrt{f\left(x\right)}\text{d}x\ne \sqrt{{\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x}$
Jadi, hanya pernyataan II yang bernilai benar.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9
Jika $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ dapat diintegralkan dalam selang $a\le x\le b$ dan $g\left(a\right)\ne 0$ maka $\cdots \cdot$
(1) ${\int }_a^{b}f\left(x\right)g\left(a\right)\text{d}x=g\left(a\right){\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x$
(2) ${\int }_a^b\left[f\right(a)+g(x\left)\right]\text{d}x$
(3) $\frac{{\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x}{g\left(a\right)}={\int }_a^b\frac{f\left(x\right)}{g\left(a\right)}\text{d}x$
(4) ${\int }_a^b\left[f\right(x)-g(x\left)\right]\text{d}x$
Pernyataan yang benar adalah $\cdots \cdot$
A. $\left(1\right),\left(2\right)$, dan $\left(3\right)$
B. $\left(1\right)$ dan $\left(3\right)$
C. $\left(2\right)$ dan $\left(4\right)$
D. $\left(4\right)$ saja
E. $\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)$, dan $\left(4\right)$

Pembahasan

Cek pernyataan 1:
Berdasarkan sifat kelinearan integral, $g\left(a\right)$ yang bahwasanya adalah sebuah konstanta, dapat keluar dari posisinya sebagai integran.
Jadi, pernyataan 1 benar.
Cek pernyataan 2:
Berdasarkan sifat kelinearan integral, integral dari penjumlahan dua fungsi sama dengan jumlah dari integral masing-masing fungsi. Dalam hal ini, kita dapat menganggap $f\left(a\right)$ sebagai fungsi konstan.
Jadi, pernyataan 2 benar.
Cek pernyataan 3:
Berdasarkan sifat kelinearan integral, $g\left(a\right)$ yang bahwasanya merupakan suatu konstanta, dapat keluar masuk dari notasi integral tanpa memengaruhi hasilnya.
Jadi, pernyataan 3 benar.
Cek pernyataan 4:
Pernyataan 4 bernilai benar. Pernyataan 4 merupakan salah satu sifat dari kelinearan integral.
(Jawaban E)

Soal Nomor 10
Jika $f\left(x\right)=ax+b$, ${\int }_0^{1}f\left(x\right)\text{d}x=1$ dan ${\int }_1^{2}f\left(x\right)\text{d}x=5$, maka nilai $a+b=\cdots \cdot$
A. $5$                      C. $3$                    E. $-4$
B. $4$                      D. $-3$

Pembahasan

Karena ${\int }_0^{1}f\left(x\right)\text{d}x=1$, maka diperoleh
$$\begin{array}{cccc}{\int }_0^{1}f\left(x\right)\text{d}x& =1& & \\ {\int }_0^1(ax+b)\text{d}x& =1& & \\ {[\frac{1}{2}a{x}^2+bx]}_0^1& =1& & \\ \frac{1}{2}a(1{)}^2+b(1)-0& =1& & \\ \frac{1}{2}a+b& =1& & (\cdots 1)\end{array}$$Karena ${\int }_1^{2}f\left(x\right)\text{d}x=5$, maka diperoleh
$$\begin{array}{cccc}{\int }_1^{2}f\left(x\right)\text{d}x& =5& & \\ {\int }_1^2(ax+b)\text{d}x& =5& & \\ {[\frac{1}{2}a{x}^2+bx]}_1^2& =5& & \\ \frac{1}{2}a(2{)}^2+b(2)-\frac{1}{2}a(1{)}^2-b\left(1\right)& =5& & \\ \frac{3}{2}a+b& =5& & (\cdots 2)\end{array}$$Dari persamaan $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$ (membentuk SPLDV), kita peroleh nilai $a=4$ dan $b=-1$. Jadi, nilai $a+b=4+(-1)=3$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 11
Jika nilai ${\int }_{-1}^{3}f\left(x\right)\text{d}x=3$ dan ${\int }_{-1}^{3}3g\left(x\right)\text{d}x=-6$, maka nilai ${\int }_{-1}^3\left(2f\right(x)-g(x\left)\right)\text{d}x=\cdots \cdot$
A. $-8$                     C. $4$                    E. $8$
B. $-6$                     D. $6$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{array}{cc}{\int }_{-1}^{3}f\left(x\right)\text{d}x& =3\\ {\int }_{-1}^{3}3g\left(x\right)\text{d}x& =-6\\ \Rightarrow {\int }_{-1}^{3}g\left(x\right)\text{d}x& =-2\end{array}$
Dengan menggunakan sifat kelinearan integral, diperoleh
$\begin{array}{cc}& {\int }_{-1}^3\left(2f\right(x)-g(x\left)\right)\text{d}x\\ & =2{\int }_{-1}^{3}f\left(x\right)\text{d}x-{\int }_{-1}^{3}g\left(x\right)\text{d}x\\ & =2\left(3\right)-(-2)=6+2=8\end{array}$
Jadi, nilai dari ${\int }_{-1}^3\left(2f\right(x)-g(x\left)\right)\text{d}x=8$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 12
Jika ${\int }_{-5}^{2}f\left(x\right)\text{d}x=-17$ dan ${\int }_5^{2}f\left(x\right)\text{d}x=-4$, maka nilai dari ${\int }_{-5}^{5}f\left(x\right)\text{d}x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-21$                  C. $0$                    E. $21$
B. $-13$                  D. $13$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{array}{cc}{\int }_{-5}^{2}f\left(x\right)\text{d}x& =-17\\ {\int }_5^{2}f\left(x\right)\text{d}x& =-4\end{array}$
Karena ${\int }_5^{2}f\left(x\right)\text{d}x=-4$, maka dengan membalikkan batas integralnya dan menambahkan tanda negatif di depan, diperoleh ${\int }_2^{5}f\left(x\right)\text{d}x=4$.
Selanjutnya, dengan menggunakan sifat kekontinuan batas integral, diperoleh
$\begin{array}{cc}{\int }_{-5}^{5}f\left(x\right)\text{d}x& ={\int }_{-5}^{2}f\left(x\right)\text{d}x+{\int }_2^{5}f\left(x\right)\text{d}x\\ & =-17+4=-13\end{array}$
Jadi, nilai dari ${\int }_{-5}^{5}f\left(x\right)\text{d}x=-13$
(Jawaban B)

Soal Nomor 13
Diketahui fungsi $f\left(x\right)$ memenuhi sifat $f(-x)=-f\left(x\right)$. Jika ${\int }_{-2}^{1}f\left(x\right)\text{d}x=4$, maka nilai dari ${\int }_{-2}^{-1}f\left(x\right)\text{d}x=\cdots \cdot$
A. $-8$                   C. $-4$                   E. $6$
B. $-6$                   D. $4$

Pembahasan

Fungsi $f$ disebut fungsi ganjil karena memenuhi $f(-x)=-f\left(x\right)$.
Untuk itu, dalam integral berlaku
${\int }_{-a}^{a}f\left(x\right)\text{d}x=0$
untuk $a$ bilangan real.
Diketahui ${\int }_{-2}^{1}f\left(x\right)\text{d}x=4$. Dari sini, diperoleh
$\begin{array}{cc}{\int }_{-2}^{-1}f\left(x\right)\text{d}x+{\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)\text{d}x& =4\\ {\int }_{-2}^{-1}f\left(x\right)\text{d}x+0& =4\\ {\int }_{-2}^{-1}f\left(x\right)\text{d}x& =4\end{array}$
Jadi, nilai dari ${\int }_{-2}^{-1}f\left(x\right)\text{d}x=4$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 14
Jika nilai ${\int }_b^{a}f\left(x\right)\text{d}x=5$ dan ${\int }_c^{a}f\left(x\right)\text{d}x=0$, maka ${\int }_c^{b}f\left(x\right)\text{d}x=\cdots \cdot$
A. $10$                  C. $0$                    E. $-10$
B. $5$                    D. $-5$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{array}{cc}1){\int }_b^{a}f\left(x\right)\text{d}x& =5\\ ⟹{\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x& =-5\\ 2\left){\int }_c^{a}f\right(x)\text{d}x& =0\end{array}$
Berdasarkan sifat kekontinuan batas integral, diperoleh
$\begin{array}{cc}{\int }_c^{b}f\left(x\right)\text{d}x& ={\int }_c^{a}f\left(x\right)\text{d}x+{\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x\\ & =0+(-5)=-5\end{array}$
Jadi, nilai dari ${\int }_c^{b}f\left(x\right)\text{d}x=-5$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 15
Jika $f\left(x\right)=f(-x)$ untuk semua nilai $x$, ${\int }_{-3}^{3}f\left(x\right)\text{d}x=6$, dan ${\int }_2^{3}f\left(x\right)\text{d}x=1$, maka nilai dari ${\int }_0^{2}f\left(x\right)\text{d}x=\cdots \cdot$
A. $1$                      C. $5$                     E. $12$
B. $2$                      D. $11$

Pembahasan

Fungsi $f$ disebut fungsi genap karena berlaku $f\left(x\right)=f(-x)$.
Karena itu, maka berlaku
$\begin{array}{cc}{\int }_{-3}^{3}f\left(x\right)\text{d}x& =6\\ 22{\int }_0^{3}f\left(x\right)\text{d}x& =6\\ {\int }_0^{3}f\left(x\right)\text{d}x& =3\end{array}$
Selanjutnya, dengan menggunakan sifat kekontinuan batas integral, diperoleh
$\begin{array}{cc}{\int }_0^{3}f\left(x\right)\text{d}x& =3\\ {\int }_0^{2}f\left(x\right)\text{d}x+{\int }_2^{3}f\left(x\right)\text{d}x& =3\\ {\int }_0^{2}f\left(x\right)\text{d}x+1& =3\\ {\int }_0^{2}f\left(x\right)\text{d}x& =2\end{array}$
Jadi, nilai dari ${\int }_0^{2}f\left(x\right)\text{d}x=2$
(Jawaban B)