PENGERTIAN TURUNAN DAN SIFAT-SIFATNYA BERSAMA CONTOH SOALNYA

 PENGERTIAN TURUNAN DAN SIFAT-SIFATNYA BERSAMA CONTOH SOALNYA


Turunan - merupakan suatu perhitungan terhadap perubahan nilai fungsi karena perubahan nilai input (variabel).

Turunan dapat disebut juga sebagai diferensial dan proses dalam menentukan turunan suatu fungsi disebut sebagai diferensiasi.

Menggunakan konsep limit yang sudah dipelajari, turunan dapat didefinisikan sebagai

turunan tersebut didefinisikan sebagai limit dari perubahan rata-rata dari nilai fungsi terhadap variabel x.

SIFAT-SIFAT TURUNAN

  1. Aturan Konstanta

    Jika f(x) = k dengan k suatu konstanta maka untuk sebarang x, f'(x) = 0 yakni Dx(k) = 0

  2. Aturan Fungsi Identitas
    Jika f(x) = x maka f'(x) = 1 yakni Dx(x) = 1

  3. Aturan Pangkat

    Jika f(x) = xn, dengan n bilangan-bilangan bulat positif maka f(x) = nxn-1 yakni Dx(xn) = nxn-1

  4. Aturan Kelipatan Konstan

    Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdiferensial maka (kf)’ = k f'(x) yakni Dx[k f(x)] = k Dx[f(x)]

  5. Aturan Jumlah

    Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensial maka (f + g)(x) = f(x) + g(x) yakni Dx[f(x) + g(x)] = Dx[f(x)] + Dx[g(x)]

  6. Aturan Selisih

    Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensial maka (f – g)(x) = f(x) – g(x) yakni Dx[f(x) – g(x)] = Dx[f(x)] – Dx[g(x)]

  7. Aturan Hasil Kali

    Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensial maka (f . g)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) yakni Dx[f(x)g(x)] = Dx[f(x)]g(x) + f(x)Dx[g(x)]

  8. Aturan Hasil Bagi

    Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensial maka \left ( \frac{f}{g} \right )(x)= \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)} yakni Dx \frac{f(x)}{g(x)}= \frac{D_x[f(x)]g(x)-f(x)D_x[g(x)]}{g^2(x)}


CONTOH SOAL

Contoh soal 1
Diketahui , nilai dari f’(5) adalah ...

a.    6
b.    10
c.    14
d.    17
e.    20

Pembahasan :

    f’(x) = 2x + 4
    f’(5) = 2(5) + 4
            = 14
JAWABAN: C


Contoh soal 2
Turunan pertama dari   adalah ...
Pembahasan :


JAWABAN: D


Contoh soal 3
Diketahui  dan f’ adalah turunan pertama dari f. Nilai dari f’(1) = ...
a.    20
b.    21
c.    23
d.    23
e.    26
Pembahasan :


               = 24 – 6 + 6 – 1
               = 23
JAWABAN: C


Contoh soal 4
Diketahui  dan f’ adalah turunan pertama f. Nilai f’(1) adalah ...
a.    3
b.    8
c.    13
d.    16
e.    21
Pembahasan :


              = 3 – 20 + 25
              = 8
JAWABAN: B


Contoh soal 5
Diketahui . Jika f’ adalah turunan pertama dari f, maka nilai f’(x) = ...
Pembahasan :
Kita gunakan rumus ini ya: 


JAWABAN: D


Contoh soal 6
Jika dengan f’ adalah turunan pertama f, maka nilai f’(2) adalah ...
a.    5
b.    20
c.    30
d.    40
e.    50
Pembahasan :
Kita gunakan rumus ini ya: 


               = 20.1
               = 20
JAWABAN: B


Contoh soal 7
Jika f(x) = sin x cos 3x maka f’(π/6) = ...
Pembahasan :
f(x) = sin x cos 3x
      = ½ (sin 4x + sin (-2x))
      = ½ sin 4x – ½ sin 2x
f’(x) = ½ . 4 cos 4x – ½ . 2 cos 2x
        = 2cos 4x – cos 2x
Maka:
f’(π/6) = 2cos 4(π/6) – cos 2(π/6)
           = 2.(- ½ ) – ½
           = -1 – ½
           = -1 1/2
JAWABAN: C


Contoh soal 8
Jika  , sin x ≠ 0 dan f’ adalah turunan f, maka f’(π/2) = ...
a.    -2
b.    -1
c.    0
d.    1
e.    2
Pembahasan :

Misalkan: u = sin x + cos x --> u’ = cos x – sin x
    v = sin x --> v’ = cos x
Ingat rumus ini ya: 
Sehingga:


JAWABAN: B


Contoh soal 9
Nilai maksimum dari fungsi  adalah ...
a.    8
b.    12
c.    16
d.    24
e.    32
Pembahasan :
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi diperoleh jika f’(x) = 0
Maka:


Jadi, nilai maksimumnya adalah 12
JAWABAN: B


Contoh soal 10
Turunan fungsi  adalah ...
Pembahasan :
 atau 
Maka:

JAWABAN: B


Contoh soal 11
 Diketahui fungsi dan turunan pertama dari f adalah f’. Maka f’(x) = ...
a.    4 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
b.    -2 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
c.    2 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
d.    -4 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
e.    sin (2x + 3) cos (2x + 3)
Pembahasan :

    f’(x) = 2 sin (2x + 3) . 2. cos (2x + 3)
           = 4sin(2x + 3)cos(2x + 3)
JAWABAN: A


Contoh soal 12
Grafik fungsi  turun dalam interval ...
a.    x < -3 atau x > 1
b.    x < -1 atau x > 3
c.    x < -3 atau x > -1
d.    -1 < x < 3
e.    1 < x < 3
Pembahasan :
Syarat grafik f(x) turun adalah jika nilai f’(x) < 0, maka:


    HP = -1 < x < 3
JAWABAN: D


Contoh soal 13
Turunan pertama fungsi  adalah f’(x). Nilai f’(1) = ...
a.    18
b.    24
c.    54
d.    162
e.    216
Pembahasan :

Misalkan: 
               v = 2x – 1 -->  v’ = 2
Kita pakai rumus yang ini: f(x) = u.v --> f’(x) = u’.v + u.v’
Sehingga:

             = 18 . 9 . 1 + 27 . 2
             = 162 + 54
             = 216
JAWABAN: E


Contoh soal 14
Suatu proyek akan diselesaikan dalam x hari. Jika biaya proyek per hari adalah dalam ribuan rupiah maka biaya proyek minimum dalam x hari sama dengan ...
a.    Rp550.000,00
b.    Rp800.000,00
c.    Rp880.000,00
d.    Rp900.000,00
e.    Rp950.000,00
Pembahasan :
 atau 
Biaya minimum diperoleh ketika B’(x) = 0
B’(x) = 4x – 40
B’(x) = 0
4x – 40 = 0
4x = 40
x = 10
Subtitusikan x = 10 dalam persamaan 
Jadi, biaya proyek minimum dalam x hari sama dengan Rp800.000,00
JAWABAN: B


Contoh soal 15
Untuk memproduksi suatu barang diperlukan biaya produksi yang dinyatakan dengan fungsi  dalam ribuan rupiah. Agar biaya minimum maka harus diproduksi barang sebanyak ...
a.    30
b.    45
c.    60
d.    90
e.    135
Pembahasan :

Agar biaya minimum maka B’(x) = 0
B’(x) = 4x – 180
B’(x) = 0
4x – 180 = 0
4x = 180
x = 45
Jadi, agar biaya minimum maka harus diproduksi barang sebanyak 45
JAWABAN: B



DAFTAR PUSTAKA :
  • https://rumuspintar.com/turunan/
  • https://aimprof08.wordpress.com/2012/05/02/turunan-dan-sifat-sifatnya/
  • https://www.ajarhitung.com/2017/02/contoh-soal-dan-pembahasan-tentang_14.html

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Limit dan Konsep Limit Fungsi Aljabar

Gambar
  A. Konsep Limit Fungsi Aljabar Limit dapat diartikan sebagai menuju suatu batas, sesuatu yang dekat namun tidak dapat dicapai. Dalam bahasa matematika, keadaan ini dapat disebut limit. Mengapa harus ada limit? limit menjelaskan suatu fungsi jika batas tertentu didekati. Mengapa harus didekati? karena suatu fungsi biasanya tidak terdefinisi pada titik-titik tertentu. Walaupun suatu fungsi seringkali tidak terdefinisi untuk titik tertentu, namun masih dapat dicari tahu berapa nilai yang didekati oleh fungsi tersebut apabila titik tertentu semakin didekati yaitu dengan limit. Dalam bahasa matematika, limit dituliskan dengan: Maksudnya, apabila x mendekati a namun x tidak sama dengan a maka f(x) mendekati L. Pendekatan x ke a dapat dilihat dari dua sisi yaitu sisi kiri dan sisi kanan atau dengan kata lain x dapat mendekati dari arah kiri dan arah kanan sehingga menghasilkan limit kiri dan limit kanan. Toerema / Pernyataan: Suatu fungsi dikatakan mempunyai limit apabila antara limit kiri
Baca selengkapnya

NILAI STASIONER, FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

Gambar
  Fungsi naik, fungsi turun, dan fungsi diam (stasioner) merupakan kondisi dari turunan pertama suatu fungsi pada suatu interval tertentu. Kondisi yang dimaksud dapat berupa berikut. a. Jika  f ′ ( x )  bertanda positif, atau  f ′ ( x ) > 0 , maka kurva fungsi dalam keadaan naik (disebut fungsi naik). b. Jika  f ′ ( x )  bertanda negatif, atau  f ′ ( x ) < 0 , maka kurva fungsi dalam keadaan turun (disebut fungsi turun). c. Jika  f ′ ( x )  bertanda netral, atau  f ′ ( x ) = 0 , maka kurva fungsi dalam keadaan tidak turun dan tidak naik, istilahnya kita sebut sebagai stasioner (disebut juga fungsi diam).   Kondisi suatu fungsi  y = f ( x )  dalam keadaan naik, turun, atau diam Diberikan fungsi  y = f ( x )  dalam interval  I  dengan  f ( x )  diferensiabel (dapat diturunkan) pada setiap  x  di dalam interval  I . a. Jika  f ′ ( x ) > 0 , maka kurva  f ( x )  akan selalu naik pada interval  I . b. Jika  f ′ ( x ) < 0 , maka kurva  f ( x )  akan selalu turun pada interval  I
Baca selengkapnya

INTEGRAL TERTENTU BERSAMA SIFAT-SIFATNYA BESERTA CONTOH SOALNYA

  Contoh Soal Pilihan Ganda dan Pembahasannya dari Integrasi Tertentu Soal Nomor 1 Nilai dari  ∫ 2 − 1 ( x 2 − 3 )   d x ∫ − 1 2 ( x 2 − 3 )   d x  sama dengan  ⋯ ⋅ ⋯ ⋅ A.  − 12 − 12                   C.  0 0                    E.  12 12 B.  − 6 − 6                     D.  6 6 Pembahasan Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh ∫ 2 − 1 ( x 2 − 3 )   d x = [ 1 3 x 3 − 3 x ] 2 − 1 = ( 1 3 ( 2 ) 3 − 3 ( 2 ) ) − ( 1 3 ( − 1 ) 3 − 3 ( − 1 ) ) = ( 8 3 − 6 ) − ( − 1 3 + 3 ) = 8 3 + 1 3 − 6 − 3 = 9 3 − 9 = − 6 ∫ − 1 2 ( x 2 − 3 )   d x = [ 1 3 x 3 − 3 x ] − 1 2 = ( 1 3 ( 2 ) 3 − 3 ( 2 ) ) − ( 1 3 ( − 1 ) 3 − 3 ( − 1 ) ) = ( 8 3 − 6 ) − ( − 1 3 + 3 ) = 8 3 + 1 3 − 6 − 3 = 9 3 − 9 = − 6 Jadi, nilai dari  ∫ 2 − 1 ( x 2 − 3 )   d x = − 6 ∫ − 1 2 ( x 2 − 3 )   d x = − 6 (Jawaban B) [collapse] Soal Nomor 2 Nilai dari  ∫ 1 − 1 ( − x 3 + 2 x − 1 ) 2   d x ∫ − 1 1 ( − x 3 + 2 x − 1 ) 2   d x  sama dengan  ⋯ ⋅ ⋯ ⋅ A.  332 105 332 105                    D.  372
Baca selengkapnya