PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA DAN GARIS NORMAL

 Garis Singgung

Sebuah garis disebut sebagai garis singgung kurva jika garis tersebut hanya memiliki satu titik persekutuan (titik singgung) dengan kurva. Karena garis singgung hanya memiliki satu titik persekutuan dengan kurva, maka untuk mendapatkan nilai kemiringannya dapat kita dekati dengan garis lain (garis secan) yang gradiennya dapat ditentukan secara langsung. Untuk melihat pergerakan garis lain (garis secan) menjadi garis singgung
Garis singgung bergradien m, jika titik yang dilaluinya adalah titik singgung A(x1,y1) maka persamaan garis singgungnya adalah 
 
Persamaan garis normal bergradien dan melalui A(x1,y1)
 
Garis Normal
Pada setiap garis singgung suatu kurva, terdapat garis normal yang tegak lurus dengan garis singgung tersebut.  
 
Bagaimana hubungan antara garis normal dan garis singgung? Garis normal merupakan garis yang melalui titik singgung dan tegak lurus dengan garis singgung.  
 
 
Contoh Soal
1. Carilah gradien garis singgung kurva f(x) = 5x2 – 8x + 4 di titik (2,8) ?
Pembahasan
Titik singgung dititik (2, 8), maka x1 = 2
Dengan demikian, gradien garis adalah : m = f’(x1)
m = 10x1 – 8
m = 10(2) – 8
m = 12
2. Tentukanlah persamaan garis singgung untuk kurva y = x2 + 2x di titik (1,3)
Pembahasan
f(x) = x2 + 2x
f'(x) = 2x + 2
m = f '(1) = 2(1) + 2 = 4
m = 4
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :
y – y1 = m(x – x1)
y − 3 = 4(x − 1)
y − 3 = 4x − 4
y = 4x − 1 
3. Tentukanlah Persamaan garis singgung kurva y = 2x - 3x2 di titik dengan absis 2 
Pembahasan
Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai x = 2
y = 2x - 3x2
y = 2(2) − 3(2)2
y = −8
Jadi titik singgung : (2, −8)
Langkah 2: Cari nilai gradien
f(x) = 2x − 3x2
f '(x) = 2 − 6x
m = f '(2) = 2 − 6(2) = −10
m = −10 
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :
y – y1 = m(x – x1)
y − (−8) = −10(x − 2)
y + 8 = −10x + 20
y = −10x + 12
4. Tentukanlah Persamaan dari garis singgung pada kurva y = 3x3 – 3x2 pada titik berabsis 2 
Pembahasan
Langkah ke-1 : Cari lah titik singgung dengan cara memasukkan nilai x = 2
y = 3x3 – 2x2
y = 3(2)3 − 3(2)2
y = 24 – 12
y = 12
Jadi titik singgung : (2, 12)
Langkah ke- 2: Cari nilai dari gradien
f(x) = 3x3 – 3x2
f ‘(x) = 9x2 – 6x
m = f ‘(2) = 9(2)2 − 6(2) 
m = 36 – 12
m = 24
Jadi, persamaan dari garis singgungnya ialah : 
y – y1 = m(x – x1)
y − 12 = 24(x − 2) 
y = 24x – 36  
5. Carilah sebuah persamaan dari garis singgung di kurva y = x2 – x + 3 pada titik yang berordinat pada 5 ?
Pembahasan:
Ordinat itu yakni sumbu -y, jadinya nilai y = 5
Langkah ke-1 : Cari titik pada singgung dengan cara memasukkan nilai y yakni 5
y = x2 – x + 3
5 = x2 – x + 3
x2 – x + 3 – 5 = 0
x2 – x – 2 = 0
(x – 2)(x + 1) = 0
x = 2 atau x = -1
Jadi ada dua titik singgung yakni : (2,5) ataupun (-1,5)
Langkah ke-2: Carilah nilai dari gradien
Nilai gradien bagi x = 2
f(x) = x2 – x + 3
f'(x) = 2x – 1
m = f'(2) = 2(2) – 1
m = 3
Nilai gradien bagi nilai x = -1
f(x) = x2 – x + 3
f'(x) = 2x – 1
m = f'(-1) = 2(-1) – 1
m = -3
Langkah ke-3: Menentukan sebuah persamaan pada garis singgung
Dikarenakan kita mempunyai dua titik singgung, yang tentunya akan terdapat dua persamaan pada garis singgung
Persamaan dari garis singgungnya bagi titik (2,5) dan m = 3
y – y1 = m(x – x1)
y – 5 = 3(x – 2)
y = 3x – 6 + 5
y = 3x – 1
Persamaan dari garis singgungnya bagi titik (-1,5) dan m = -3
y – y1 = m(x – x1)
y – 5 = -3(x – (-1))
y – 5 = -3x – 3
y = -3x + 2 
Jadi, terdapat dua persamaan garis singgung, yakni y = 3x – 1 ataupun
y = -3x + 2
 
Sumber:

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Limit dan Konsep Limit Fungsi Aljabar

Gambar
  A. Konsep Limit Fungsi Aljabar Limit dapat diartikan sebagai menuju suatu batas, sesuatu yang dekat namun tidak dapat dicapai. Dalam bahasa matematika, keadaan ini dapat disebut limit. Mengapa harus ada limit? limit menjelaskan suatu fungsi jika batas tertentu didekati. Mengapa harus didekati? karena suatu fungsi biasanya tidak terdefinisi pada titik-titik tertentu. Walaupun suatu fungsi seringkali tidak terdefinisi untuk titik tertentu, namun masih dapat dicari tahu berapa nilai yang didekati oleh fungsi tersebut apabila titik tertentu semakin didekati yaitu dengan limit. Dalam bahasa matematika, limit dituliskan dengan: Maksudnya, apabila x mendekati a namun x tidak sama dengan a maka f(x) mendekati L. Pendekatan x ke a dapat dilihat dari dua sisi yaitu sisi kiri dan sisi kanan atau dengan kata lain x dapat mendekati dari arah kiri dan arah kanan sehingga menghasilkan limit kiri dan limit kanan. Toerema / Pernyataan: Suatu fungsi dikatakan mempunyai limit apabila antara limit kiri
Baca selengkapnya

NILAI STASIONER, FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

Gambar
  Fungsi naik, fungsi turun, dan fungsi diam (stasioner) merupakan kondisi dari turunan pertama suatu fungsi pada suatu interval tertentu. Kondisi yang dimaksud dapat berupa berikut. a. Jika  f ′ ( x )  bertanda positif, atau  f ′ ( x ) > 0 , maka kurva fungsi dalam keadaan naik (disebut fungsi naik). b. Jika  f ′ ( x )  bertanda negatif, atau  f ′ ( x ) < 0 , maka kurva fungsi dalam keadaan turun (disebut fungsi turun). c. Jika  f ′ ( x )  bertanda netral, atau  f ′ ( x ) = 0 , maka kurva fungsi dalam keadaan tidak turun dan tidak naik, istilahnya kita sebut sebagai stasioner (disebut juga fungsi diam).   Kondisi suatu fungsi  y = f ( x )  dalam keadaan naik, turun, atau diam Diberikan fungsi  y = f ( x )  dalam interval  I  dengan  f ( x )  diferensiabel (dapat diturunkan) pada setiap  x  di dalam interval  I . a. Jika  f ′ ( x ) > 0 , maka kurva  f ( x )  akan selalu naik pada interval  I . b. Jika  f ′ ( x ) < 0 , maka kurva  f ( x )  akan selalu turun pada interval  I
Baca selengkapnya

INTEGRAL TERTENTU BERSAMA SIFAT-SIFATNYA BESERTA CONTOH SOALNYA

  Contoh Soal Pilihan Ganda dan Pembahasannya dari Integrasi Tertentu Soal Nomor 1 Nilai dari  ∫ 2 − 1 ( x 2 − 3 )   d x ∫ − 1 2 ( x 2 − 3 )   d x  sama dengan  ⋯ ⋅ ⋯ ⋅ A.  − 12 − 12                   C.  0 0                    E.  12 12 B.  − 6 − 6                     D.  6 6 Pembahasan Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh ∫ 2 − 1 ( x 2 − 3 )   d x = [ 1 3 x 3 − 3 x ] 2 − 1 = ( 1 3 ( 2 ) 3 − 3 ( 2 ) ) − ( 1 3 ( − 1 ) 3 − 3 ( − 1 ) ) = ( 8 3 − 6 ) − ( − 1 3 + 3 ) = 8 3 + 1 3 − 6 − 3 = 9 3 − 9 = − 6 ∫ − 1 2 ( x 2 − 3 )   d x = [ 1 3 x 3 − 3 x ] − 1 2 = ( 1 3 ( 2 ) 3 − 3 ( 2 ) ) − ( 1 3 ( − 1 ) 3 − 3 ( − 1 ) ) = ( 8 3 − 6 ) − ( − 1 3 + 3 ) = 8 3 + 1 3 − 6 − 3 = 9 3 − 9 = − 6 Jadi, nilai dari  ∫ 2 − 1 ( x 2 − 3 )   d x = − 6 ∫ − 1 2 ( x 2 − 3 )   d x = − 6 (Jawaban B) [collapse] Soal Nomor 2 Nilai dari  ∫ 1 − 1 ( − x 3 + 2 x − 1 ) 2   d x ∫ − 1 1 ( − x 3 + 2 x − 1 ) 2   d x  sama dengan  ⋯ ⋅ ⋯ ⋅ A.  332 105 332 105                    D.  372
Baca selengkapnya