INTEGRAL TAK TENTU BERSAMA SIFAT-SIFATNYA BESERTA CONTOH SOALNYA

 

Contoh Soal Pilihan Ganda dan Pembahasannya yang Berkaitan dengan Integral Tak Tentu

DEFINISI INTEGRAL FUNGSI TAK TENTU

---

Ketika akan menyelesaikan persamaan diferensial dari bentuk dydx=f(x) dapat kita tulis dalam bentuk dy=f(x)dx. Secara umum, jika F(x) menyatakan fungsi dalam variabel x, dengan f(x) turunan dari F(x) dan c konstanta bilangan real maka integral tak tentu dari f(x) dapat dituliskan dalam bentuk: ∫f(x)dx=F(x)+c
dibaca:"integral fungsi f(x) ke x sama dengan F(x)+c"

Keterangan Tambahan:

∫f(x)=notasi integral tak tentu
F(x)+c=fungsi antiturunan
f(x)=fungsi yang diintegralkan (integran)
c=konstanta
d(x)=diferensial (turunan) dari x

ATURAN DASAR INTEGRAL TAK TENTU

---

• ∫dx=x+c
• ∫k dx=kx+c
• ∫xn dx=1n+1xn+c, n≠−1
• ∫kf(x) dx=k∫f(x)dx
• ∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx
• ∫[f(x)−g(x)]dx=∫f(x)dx−∫g(x)dx
• ∫axdx=(1ln a)ax+c
• ∫au(x)dx=(1u′(x) ln a)au(x)+c
• ∫1xdx=ln |x|+c
• ∫1u(x)dx=1u′(x)ln |u(x)|+c
• ∫exdx=ex+c
• ∫eu(x)dx=1u′(x)eu(x)+c

1. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

$\int \left(12x^2-4x+1\right)dx=\cdots$
$\begin{array}{cc}\left(A\right)& 6x^3-4x^2+x+C\\ \left(B\right)& 6x^3-4x^2+C\\ \left(C\right)& 4x^3+2x^2+x+C\\ \left(D\right)& 4x^3-2x^2+x+C\\ \left(E\right)& 4x^3+2x^2+x+C\end{array}$

Alternatif Pembahasan : 

Dengan menerapkan aturan dasar integral $\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}{x}^n+c,n\ne -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$\begin{array}{cc}& \int \left(12x^2-4x+1\right)dx\\ & =\frac{12}{2+1}{x}^{2+1}-\frac{4}{1+1}{x}^{1+1}+1x+C\\ & =4x^3-2x^2+x+C\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(D\right)4x^3-2x^2+x+C$

2. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Hasil dari $\int \left(3x^2-5x+4\right)dx=\cdots$
$\begin{array}{cc}\left(A\right)& x^3-\frac{5}{2}{x}^2+4x+C\\ \left(B\right)& x^3-5x^2+4x+C\\ \left(C\right)& 3x^3-5x^2+4x+C\\ \left(D\right)& 6x^3-5x^2+4x+C\\ \left(E\right)& 6x^3-\frac{5}{2}{x}^2+4x+C\end{array}$

Alternatif Pembahasan: 

 Dengan menerapkan aturan dasar integral 

$\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}{x}^n+c,n\ne -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$\begin{array}{cc}& \int \left(3x^2-5x+4\right)dx\\ & =\frac{3}{2+1}{x}^{2+1}-\frac{5}{1+1}{x}^{1+1}+4x+C\\ & =x^3-\frac{5}{2}{x}^2+4x+C\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(A\right)x^3-\frac{5}{2}{x}^2+4x+C$

3. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 (*Soal Lengkap)

Hasil dari $\int \left(2x^3-9x^2+4x-5\right)dx=\cdots$
$\begin{array}{cc}\left(A\right)& \frac{1}{2}{x}^4-6x^3+2x^2-5x+C\\ \left(B\right)& \frac{1}{2}{x}^4-6x^3+x^2-5x+C\\ \left(C\right)& \frac{1}{2}{x}^4-3x^3+x^2-5x+C\\ \left(D\right)& \frac{1}{2}{x}^4-3x^3+2x^2-5x+C\\ \left(E\right)& \frac{1}{2}{x}^4-6x^3-2x^2-5x+C\end{array}$

 Alternatif Pembahasan: 

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}{x}^n+c,n\ne -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$\begin{array}{cc}& \int \left(2x^3-9x^2+4x-5\right)\\ & =\frac{2}{3+1}{x}^{3+1}-\frac{9}{2+1}{x}^{2+1}+\frac{4}{1+1}{x}^{1+1}-5x+C\\ & =\frac{2}{4}{x}^4-\frac{9}{3}{x}^3+\frac{4}{2}{x}^2-5x+C\\ & =\frac{1}{2}{x}^4-3x^3+2x^2-5x+C\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(D\right)\frac{1}{2}{x}^4-3x^3+2x^2-5x+C$

4. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Hasil dari $\int \left(x-2\right){\left(x^2-4x+3\right)}^{5}dx$ adalah...
$\begin{array}{cc}\left(A\right)& \frac{1}{3}{\left(x^2-4x+3\right)}^6+C\\ \left(B\right)& \frac{1}{6}{\left(x^2-4x+3\right)}^6+C\\ \left(C\right)& \frac{1}{12}{\left(x^2-4x+3\right)}^6+C\\ \left(D\right)& \frac{1}{6}{\left(x-2\right)}^2{\left(x^2-4x+3\right)}^6+C\\ \left(E\right)& \frac{1}{6}{\left(x-2\right)}^2{\left(x^2-4x+3\right)}^6+C\end{array}$

 Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}{x}^n+c,n\ne -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
misal:
$\begin{array}{cc}u& =x^2-4x+3\\ \frac{du}{dx}& =2x-4\\ \frac{du}{dx}& =2(x-2)\\ \frac{1}{2}du& =(x-2)dx\end{array}$

Soal di atas, kini bisa kita tulis menjadi;
$\begin{array}{cc}& \int \left(x-2\right){\left(x^2-4x+3\right)}^{5}dx\\ & =\int u^5\left(x-2\right)dx\\ & =\int u^5\cdot \frac{1}{2}du\\ & =\frac{1}{5+1}{u}^{5+1}\cdot \frac{1}{2}+C\\ & =\frac{1}{12}{u}^6+C\\ & =\frac{1}{12}{\left(x^2-4x+3\right)}^6+C\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(C\right)\frac{1}{12}{\left(x^2-4x+3\right)}^6+C$

5. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Hasil dari $\int \left(2x-1\right){\left(x^2-x+3\right)}^{3}dx$ adalah...
$\begin{array}{cc}\left(A\right)& \frac{1}{3}{\left(x^2-x+3\right)}^3+C\\ \left(B\right)& \frac{1}{4}{\left(x^2-x+3\right)}^3+C\\ \left(C\right)& \frac{1}{4}{\left(x^2-x+3\right)}^4+C\\ \left(D\right)& \frac{1}{2}{\left(x^2-x+3\right)}^4+C\\ \left(E\right)& {\left(x^2-x+3\right)}^4+C\end{array}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}{x}^n+c,n\ne -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
misal:
$\begin{array}{cc}u& =x^2-x+3\\ \frac{du}{dx}& =2x-1\\ du& =(2x-1)dx\end{array}$

Soal di atas, kini bisa kita tulis menjadi;
$\begin{array}{cc}& \int \left(2x-1\right){\left(x^2-x+3\right)}^{3}dx\\ & =\int {\left(x^2-x+3\right)}^3\left(2x-1\right)dx\\ & =\int {\left(u\right)}^{3}du\\ & =\frac{1}{3+1}{u}^{3+1}+C\\ & =\frac{1}{4}{\left(x^2-x+3\right)}^4+C\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(C\right)\frac{1}{4}{\left(x^2-x+3\right)}^4+C$