MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI DENGAN TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA

 Contoh Soal dan Pembahasannya yang Berhubungan dengan Menggambar Grafik Fungsi dengan Turunan

 Postingan ini membahas contoh soal fungsi kuadrat dan pembahasannya + jawabannya. Lalu apa itu fungsi kuadrat ?. Suatu fungsi f pada himpunan bilangan real (R) yang ditentukan oleh f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0 disebut fungsi kuadrat. Ada dua cara menggambar grafik fungsi kuadrat yaitu dengan menggunakan tabel koordinat bebarapa titik dan menggunakan titik-titik penting yang dilalui grafik. Titik-titik penting tersebut adalah titik potong grafik dengan sumbu X, titik potong grafik dengan sumbu Y dan titik balik.

Berdasarkan nilai diskriminannya (D = b2 – 4ac), grafik fungsi kuadrat (y = ax2 + bx + c) ) terdiri dari 6 kemungkinan yaitu sebagai berikut.
  1. Jika a > 0 dan D > 0, grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik yang berbeda. Jenis titik baliknya minimum.
  2. Jika a > 0 dan D = 0, grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di satu titik atau menyinggung sumbu X. Jenis titik baliknya minimum.
  3. Jika a > 0 dan D < 0, grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu X (definit positif). Jenis titik baliknya minimum.
  4. Jika a < 0 dan D > 0, grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik berbeda. Jenis titik baliknya maksimum.
  5. Jika a < 0 dan D = 0, grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu X dan titik baliknya maksimum.
  6. Jika a < 0 dan D < 0, grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu X (definit negatif) dan titik balinya maksimum

Contoh Soal

1. Perhatikan gambar fungsi kuadrat dibawah ini.
Persamaan fungsi kuadrat grafik diatas adalah…
A. y = x2 – 2x + 15 
B. y = x2 – 2x – 15 
C. y = x2 + 2x + 15 
D. y = x2 – 8x – 15
E. y = x2 – 8x + 15

Pembahasan / penyelesaian soal
Berdasarkan grafik fungsi kuadrat diatas kita ketahui:
x1 = -5
x2 = -3
y = 15

Fungsi kuadrat dibentuk dengan cara sebagai berikut:
y = a (x – x1) (x – x2)
y = a (x – (-5)) (x – (-3))
y = a (x + 5) (x + 3)
y = a (x2 + 3x + 5 x + 15)
y = a (x2 + 8x + 15)

Selanjutnya kita tentukan nilai a dengan subtitusi nilai x = 0 dan y = 15 sehingga didapat:
15 = a (02 + 8 . 0 + 15)
15 = a . 15
a = 15/15 = 1

Jadi fungsi kuadratnya adalah:
y = 1 (x2 + 8x + 15)
y = x2 + 8x + 15
Jadi soal ini jawabannya C.


2.

Persamaan fungsi kuadrat grafik diatas adalah…

A. y = 2x2 + 2x – 4 

B. y = 2x2 – 2x – 4 

C. y = x2 + x – 4

D. y = x2 – 2x – 4 

E. y = x2 – x – 4


Pembahasan / penyelesaian soal

Berdasarkan grafik diatas kita ketahui:

x1 = -1

x2 = 2

y = -4


Maka persamaan fungsi kuadrat sebagai berikut:

y = a (x – (-1)) (x – 2)

y = a (x + 1) (x – 2)

y = a (x2 – x – 2)


Menentukan nilai a dengan cara subtitusi x = 0 dan y = -4 sehingga didapat hasil dibawah ini:

-4 = a (02 – 0 – 2)

-4 = a . -2

a = -4/-2 = 2


Sehingga persamaan kuadratnya adalah:

y = 2 (x2 – x – 2)

y = 2x2 – 2x – 4

Soal ini jawabannya B.


3. Perhatikan gambar dibawah ini.

Jika fungsi kuadrat grafik diatas dinyatakan oleh f(x) = ax2 + bx + c maka pernyataan dibawah ini yang benar adalah…

A. a < 0, b < 0, dan c < 0 

B. a < 0, b > 0 dan c > 0 

C. a < 0, b > 0 dan c < 0 

D. a > 0, b < 0 dan c > 0 

E. a > 0, b < 0 dan c < 0


Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita bentuk terlebih dahulu persamaan fungsi kuadrat grafik diatas sebagai berikut:

y = a (x – (-3)) (x – (-1))

y = a (x + 3) (x + 1)

y = a (x2 + 4x + 3)

-3 = a (02 + 4 . 0 + 3)

-3 = a . 3

a = -3/3 = -1

y = -1 (x2 + 4x + 3)

y = -x2 – 4x – 3

Berdasarkan persamaan fungsi kuadrat diatas kita ketahui a = -1, b = -4 dan c = -3 atau a < 0, b < 0 dan c < 0. Jadi jawaban soal ini adalah A.


4. Perhatikan gambar dibawah ini.

Koordinat titik potong grafik dengan sumbu X adalah…
A. (-1, 0) dan (-8, 0)
B. (-1, 0) dan (8, 0) 
C. (1, 0) dan (-8, 0) 
D. (1, 0) dan (8, 0) 
E. (2, 0) dan (5, 0)

Pembahasan / penyelesaian soal
Berdasarkan grafik fungsi kuadrat diatas kita ketahui:
titik balik xp = 9/2
titik balik yp = -49/4
y = 8
xp = -b/2 . a = 9/2
 
Sehingga kita dapat a = 2/2 = 1 dan b = -9. 
yp = -(b2 – 4 . a . c)/4 . a = -49/4
 b2 – 4 . a . c = 49 
92 – 4 . 1 . c = 49 
81 – 4c = 49 atau 4c = 81 – 49 = 32 
c = 32/4 = 8 

Jadi persamaan fungsi kuadrat grafik diatas adalah: 
y = ax2 + bx + c 
y = xp – 9x + c 

Untuk menentukan titik potong x kita lakukan pemfaktoran sebagai berikut: 
xp – 9x + 8 = 0 
(x1 – 8) (x2 – 1) = 0 
x1 = 8 dan x2 = 1

Jadi titik potong sumbu X adalah (8,0) dan (1,0). Soal ini jawabannya D.


5. Diketahui jumlah 2 bilangan adalah 72. Hasil kali maksimum kedua bilangan adalah…
A. 72 
B. 144 
C. 360 
D. 1.296 
E. 5.184

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita lalukan pemisalan 2 bilangan yaitu x dan y sehingga kita peroleh:
x + y = 72
y = 72 – x
x . y = x (72 – x) = 72x – x2
K = -x2 + 72x

Berdasarkan fungsi kuadrat diatas kita ketahui a = -1, b = 72 dan c = 0. Hasil kali maksimum kita gunakan rumus dibawah ini:
K = -(b2 – 4 . a . c)/4 . a
 K = -(722 – 4 . -1 . 0)/4 . -1 = 5184/4= 1296
Jadi soal ini jawabannya D.




 

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Limit dan Konsep Limit Fungsi Aljabar

Gambar
  A. Konsep Limit Fungsi Aljabar Limit dapat diartikan sebagai menuju suatu batas, sesuatu yang dekat namun tidak dapat dicapai. Dalam bahasa matematika, keadaan ini dapat disebut limit. Mengapa harus ada limit? limit menjelaskan suatu fungsi jika batas tertentu didekati. Mengapa harus didekati? karena suatu fungsi biasanya tidak terdefinisi pada titik-titik tertentu. Walaupun suatu fungsi seringkali tidak terdefinisi untuk titik tertentu, namun masih dapat dicari tahu berapa nilai yang didekati oleh fungsi tersebut apabila titik tertentu semakin didekati yaitu dengan limit. Dalam bahasa matematika, limit dituliskan dengan: Maksudnya, apabila x mendekati a namun x tidak sama dengan a maka f(x) mendekati L. Pendekatan x ke a dapat dilihat dari dua sisi yaitu sisi kiri dan sisi kanan atau dengan kata lain x dapat mendekati dari arah kiri dan arah kanan sehingga menghasilkan limit kiri dan limit kanan. Toerema / Pernyataan: Suatu fungsi dikatakan mempunyai limit apabila antara limit kiri
Baca selengkapnya

NILAI STASIONER, FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

Gambar
  Fungsi naik, fungsi turun, dan fungsi diam (stasioner) merupakan kondisi dari turunan pertama suatu fungsi pada suatu interval tertentu. Kondisi yang dimaksud dapat berupa berikut. a. Jika  f ′ ( x )  bertanda positif, atau  f ′ ( x ) > 0 , maka kurva fungsi dalam keadaan naik (disebut fungsi naik). b. Jika  f ′ ( x )  bertanda negatif, atau  f ′ ( x ) < 0 , maka kurva fungsi dalam keadaan turun (disebut fungsi turun). c. Jika  f ′ ( x )  bertanda netral, atau  f ′ ( x ) = 0 , maka kurva fungsi dalam keadaan tidak turun dan tidak naik, istilahnya kita sebut sebagai stasioner (disebut juga fungsi diam).   Kondisi suatu fungsi  y = f ( x )  dalam keadaan naik, turun, atau diam Diberikan fungsi  y = f ( x )  dalam interval  I  dengan  f ( x )  diferensiabel (dapat diturunkan) pada setiap  x  di dalam interval  I . a. Jika  f ′ ( x ) > 0 , maka kurva  f ( x )  akan selalu naik pada interval  I . b. Jika  f ′ ( x ) < 0 , maka kurva  f ( x )  akan selalu turun pada interval  I
Baca selengkapnya

INTEGRAL TERTENTU BERSAMA SIFAT-SIFATNYA BESERTA CONTOH SOALNYA

  Contoh Soal Pilihan Ganda dan Pembahasannya dari Integrasi Tertentu Soal Nomor 1 Nilai dari  ∫ 2 − 1 ( x 2 − 3 )   d x ∫ − 1 2 ( x 2 − 3 )   d x  sama dengan  ⋯ ⋅ ⋯ ⋅ A.  − 12 − 12                   C.  0 0                    E.  12 12 B.  − 6 − 6                     D.  6 6 Pembahasan Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh ∫ 2 − 1 ( x 2 − 3 )   d x = [ 1 3 x 3 − 3 x ] 2 − 1 = ( 1 3 ( 2 ) 3 − 3 ( 2 ) ) − ( 1 3 ( − 1 ) 3 − 3 ( − 1 ) ) = ( 8 3 − 6 ) − ( − 1 3 + 3 ) = 8 3 + 1 3 − 6 − 3 = 9 3 − 9 = − 6 ∫ − 1 2 ( x 2 − 3 )   d x = [ 1 3 x 3 − 3 x ] − 1 2 = ( 1 3 ( 2 ) 3 − 3 ( 2 ) ) − ( 1 3 ( − 1 ) 3 − 3 ( − 1 ) ) = ( 8 3 − 6 ) − ( − 1 3 + 3 ) = 8 3 + 1 3 − 6 − 3 = 9 3 − 9 = − 6 Jadi, nilai dari  ∫ 2 − 1 ( x 2 − 3 )   d x = − 6 ∫ − 1 2 ( x 2 − 3 )   d x = − 6 (Jawaban B) [collapse] Soal Nomor 2 Nilai dari  ∫ 1 − 1 ( − x 3 + 2 x − 1 ) 2   d x ∫ − 1 1 ( − x 3 + 2 x − 1 ) 2   d x  sama dengan  ⋯ ⋅ ⋯ ⋅ A.  332 105 332 105                    D.  372
Baca selengkapnya