Langsung ke konten utama

gambar dan perhitungan bayangan 1 titik, 1 garis, 1 persegi panjang, 1 kubus yang di transformasi oleh translasi, dilatasi, refleksi dan rotasi

Transformasi 

Geometri

Transformasi geometri merupakan perubahan suatu bidang geometri yang meliputi posisi, besar dan bentuknya sendiri. Jika hasil transformasi kongruen dengan bangunan yang ditranformasikan, maka disebut transformasi isometri. Transformasi isometri sendiri memiliki dua jenisya itu transformasi isometri langsung dan transformasi isometri berhadapan. Transformasi isometri langsung termasuk translasi dan rotasi, sedangkan transformasi isometri berhadapan termasuk refleksi.


Translasi

Translasi merupakan pergeseran atau pemindahan semua titik pada bidang geometri sejauh dan arah yang sama. Penulisan atau notasi translasi sama dengan notasi vektor. Jika titik B ditranslasi sampai titik B^I maka dapat dinotasikan:

\overrightarrow{BB^I}

Contoh:

transformasi geometri bentuk translasi

Titik A, B, dan C, masing-masing ditranslasikan ke titik AI, BI, dan CI dengan jarak dan arah yang sama.

Suatu translasi dapat ditinjau terhadap sumbu x dan sumbu y. Pergeseran sejauh a sejajar sumbu x (bergeser ke kanan a>0, ke kiri a<0) dan pergeseran sejauh b sejajar sumbu y (bergeser ke atas b>0, ke bawah b<0) dinyatakan sebagai:

T =\left(\begin{array}{r} a\\ b\end{array}\right)

Dengan a dan b adalah komponen translasi. Bentuk-bentuk translasi sejauh (\frac{a}{b}) sebagai berikut:

Posisi Awal

Posisi Akhir

Pergeseran

Translasi Titik

A(x, y)
  • AI (x+a, y+b)
    Dengan x dan y adalah koordinat
translasi titik

Translasi Garis

mx+ny=c
  • m(x + a) + n(y + b) = c
    Dengan m dan n adalah koefisien dan c konstanta
translasi garis

Translasi Kurva

y = mx2+ kx + l
  • (y+b) = m(x+a)^2 + k(x+a) + l
    Dengan m dan k adalah koefisien dan l konstanta
translasi kurva

Translasi Lingkaran

x2 + y2 = c
  • (x + a)^2 + (y + b)^2 = c
    Dengan c adalah konstanta
translasi lingkaran


Refleksi

Refleksi merupakan transformasi geometri berupa pergeseran atau pemindahan semua titik pada bidang geometri kearah sebuah garis atau cermin dengan jarak sama dengan dua kali jarak titik kecermin. Ada dua sifat penting dalam refleksi:

Contoh :

refleksi

Bentuk refleksi terhadap berbagai garis sebagai berikut:

TitikGaris/KurvaGambar Refleksi
AwalBayanganAwalBayangan

Refleksi sumbu y

A(x, y)AI (-x, y)y = f(x)yI = f(-x) refleksi sumbu y

Refleksi sumbu y = h

A(x, y)AI (x, 2h – y)y = f(x)yI = 2h – f(x) refleksi sumbu y = h

Refleksi sumbu x = h

A(x, y)AI (2h – x, y)y = f(x)yI = f(2h – x) refleksi sumbu x = h

Refleksi sumbu y = x

A(x, y)AI (y, x)y = f(x)x = f(y) refleksi sumbu y = x

Refleksi sumbu y = -x

A(x, y)AI (-y, -x)y = f(x)x = -f(-y) refleksi sumbu y = -x

Refleksi terhadap titik O (0,0)

A(x, y)AI (-x, -y)y = f(x)yI = -f(-x) refleksi titik 00

Selain refleksi terhadap garis diatas, titik dan kurva juga dapat direfleksikan terhadap suatu garis y=mx+k. Berikut refleksinya:

refleksi terhadap garis dan kurva

 

Dapat di gambarkan:

transformasi geometri pencerminan

Rotasi

Rotasi atau perputaran merupakan transformasi geometri berupa pergeseran atau pemindahan semua titik pada bidang geometri sepanjang busur lingkaran yang memiliki titik pusat lingkaran sebagai titik rotasi. Rotasi dinyatakan positif jika arahnya berlawanan jarum jam, dan bernilai negatif jika searah jarum jam. Sebagai contoh:

rotasi transformasi geometri

Titik A berotasi 90o berlawanan arah jarum jam. Dalam diagram cartesius, bentuk-bentuk rotasi sebagai berikut:

gambar dan persamaan rotasi

Dilatasi

Dilatasi merupakan transformasi geometri berupa perkalian yang memperbesar atau memperkecil suatu bangunan geometri. Dalam konsep dilatasi, ada yang disebut titik dilatasi dan faktor dilatasi.

Titik dilatasi merupakan titik yang menentukan posisi suatu dilatasi. Titik dilatasi menjadi titik pertemuan dari semua garis lurus menghubungkan antara titik-titik dalam suatu bangun ketitik-titik hasil dilatasi.

Faktor dilatasi merupakan faktor perkalian suatu bangun geometri yang didilatasikan. Faktor ini menunjukan seberapa besar hasil dilatasi terhadap bangun geometrinya dan dinotasikan dengan k. Nilai k > 1 atau k < -1 menunjukan hasil dilatasi lebih besar dari geometrinya. Nilai -1 < k < 1 menunjukan hasil dilatasi lebih kecil dari geometrinya. Tanda positif mengartikan geometri dan hasil dilatasi berdampingan di salah satu sisi titik dilatasi. Sedangkan tanda negatif mengartikan geometri dan hasil dilatasi saling terbalik dan berlainan sisi di titik dilatasi.

Dilatasi dapat ditulis:

(D, k) = (Titik dilatasi, faktor dilatasi)

Konsep dilatasinya:

Faktor DilatasiBentuk Dilatasi
k > 1bentuk dilatasi k lebih besar dari 1
0 < k < 1bentuk dilatasi diantara 0 dan 1
k < -1bentuk dilatasi lebih kecil dari -1
-1 < k < 0bentuk dilatasi diantara -1 dan 0

Dengan ketentuan:

  • k adalah titik dilatasi
  • A salah satu titik geometri
  • AI hasil dilatasi titik A

Dalam diagram cartesius, bentuk-bentuk rotasi sebagai berikut:

gambar rumus persamaan dilatasi

Matriks Transformasi

Secara umum, transformasi geometri dapat dinyatakan dalam bentuk matriks \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}yang memetakan titik (x,y) ke titik (x’,y’ ) dengan persamaan:

\left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr} a&b\\ c&d\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right)

Atau

\left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right)= \frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{rr} d&-b\\ -c&a\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right)

Bentuk-bentuk matriks transformasi sebagai berikut:

matriks transformasi geometri

Determinan dan Luas

Hasil transformasi bangun geometri memiliki luas yang berbeda dengan bangun awalnya. Untuk mendapatkan luas dari sebuah bangun geometri yang telah ditransformasi dapat dicari dengan determinan matriks transformasi. Yaitu:

Luas A^I = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \times luas A

Dengan \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad-bc dan diketahui luas awalnya.

Contoh Soal Transformasi Geometri dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Persamaan peta garis 3x – 4y = 12, karena refleksi terhadap garis y – x = 0, dilanjutkan oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks  \left(\begin{array}{rr} -3&5\\ -1&1\end{array}\right) adalah… (UAN ’03)

Pembahasan 1:

Diketahui matriksnya:

Rotasi = \left(\begin{array}{rr} 0&1\\ 1&0\end{array}\right)

Transformasi = \left(\begin{array}{rr} -3&5\\ -1&1\end{array}\right)

Persamaan garis direfleksi kemudian ditransformasi adalah:

\left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} -3&5\\ -1&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} 0&1\\ 1&0\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} 5&-3\\ 1&-1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right)

\left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) = - \frac{1}{2} \left(\begin{array}{rr} -1&3 \\ -1&5\end{array} \right) \left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right) = \begin{pmatrix} \frac{x'-3y'}{2} \\ \frac{x'-5y'}{2} \end{pmatrix}

Kemudian disubstitusikan:

3x - 4y = 12 \overset{substitusi}{\rightarrow}3 (\frac{x'- 3y'}{2}) - 4(\frac{x'-5y'}{2}) = 12

3(x' - 3y') - 4(x'- 5y') = 24

3x' - 9y' - 4x' + 20y' =24

-x' + 11y' =24

Hasilnya:

11y - x =24

Contoh Soal 2

Pencerminan terhadap sumbu x adalah A, pencerminan terhadap sumbu y adalah B dan rotasi 180o terhadap puasat O adalah H. Tentukan matriks B(A(HA)). (UMPTN ’90)

Pembahasan 2:

Diketahui:

  • Pencerminan terhadap sumbu x,A = \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ 0&-1\end{array}\right)
  • Pencerminan terhadap sumbu  y,B = \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&1\end{array}\right)
  • Rotasi 180o, H = \left(\begin{array}{rr} cos 180 &-sin180 \\ sin 180 & cos 180\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&-1\end{array}\right)

Maka:

B(A(HA)) = \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&1\end{array}\right) ( \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ 0&-1\end{array}\right) [ \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&-1\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&-1\end{array}\right) ]))

= \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&1\end{array}\right) ( \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ 0&-1\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&1\end{array}\right) )

= \left(\begin{array}{rr} -1&0 \\ 0&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&-1\end{array}\right)

= \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ 0&-1\end{array}\right)

Contoh Soal 3

Oleh matriks A = \left(\begin{array}{rr} a+2&a\\ 1&a+1\end{array}\right), titik P(1, 2) dan titik Q masing-masing ditransformasikan ke titik P'(2, 3) dan Q'(2,0). Tentukan koordinat titik Q. (SPMB’04)

Pembahasan 3:

Mencari nilai a dari transformasi P:

\left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rr} a+2&a\\ 1&a+1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right)\overset{sehingga}{\rightarrow}\left(\begin{array}{r} 2\\ 3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} a+2&a\\ 1&a+1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} 1\\ 2\end{array}\right)\overset{menjadi}{\rightarrow}\left(\begin{array}{r} 2\\ 3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} 2 + 3a\\ 3 + 2a\end{array}\right)

a = 0

Sehingga matriksnya:

A = \left(\begin{array}{rr} a+2&a\\ 1&a+1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} 2&0\\ 1&1\end{array}\right)

Mencari titik Q:

\left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} 2&0\\ 1&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) \overset{sehingga}{\rightarrow} \left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) = \frac{1}{2} \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ -1&2\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right) \overset{disubstitusi} = {\rightarrow} \left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) = \frac{1}{2} \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ -1&2\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} 2\\0\end{array}\right)

\left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 1\\ -1\end{array}\right)

Sehingga:

Q (1, -1)








Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Limit dan Konsep Limit Fungsi Aljabar

Gambar
  A. Konsep Limit Fungsi Aljabar Limit dapat diartikan sebagai menuju suatu batas, sesuatu yang dekat namun tidak dapat dicapai. Dalam bahasa matematika, keadaan ini dapat disebut limit. Mengapa harus ada limit? limit menjelaskan suatu fungsi jika batas tertentu didekati. Mengapa harus didekati? karena suatu fungsi biasanya tidak terdefinisi pada titik-titik tertentu. Walaupun suatu fungsi seringkali tidak terdefinisi untuk titik tertentu, namun masih dapat dicari tahu berapa nilai yang didekati oleh fungsi tersebut apabila titik tertentu semakin didekati yaitu dengan limit. Dalam bahasa matematika, limit dituliskan dengan: Maksudnya, apabila x mendekati a namun x tidak sama dengan a maka f(x) mendekati L. Pendekatan x ke a dapat dilihat dari dua sisi yaitu sisi kiri dan sisi kanan atau dengan kata lain x dapat mendekati dari arah kiri dan arah kanan sehingga menghasilkan limit kiri dan limit kanan. Toerema / Pernyataan: Suatu fungsi dikatakan mempunyai limit apabila antara limit kiri
Baca selengkapnya

NILAI STASIONER, FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

Gambar
  Fungsi naik, fungsi turun, dan fungsi diam (stasioner) merupakan kondisi dari turunan pertama suatu fungsi pada suatu interval tertentu. Kondisi yang dimaksud dapat berupa berikut. a. Jika  f ′ ( x )  bertanda positif, atau  f ′ ( x ) > 0 , maka kurva fungsi dalam keadaan naik (disebut fungsi naik). b. Jika  f ′ ( x )  bertanda negatif, atau  f ′ ( x ) < 0 , maka kurva fungsi dalam keadaan turun (disebut fungsi turun). c. Jika  f ′ ( x )  bertanda netral, atau  f ′ ( x ) = 0 , maka kurva fungsi dalam keadaan tidak turun dan tidak naik, istilahnya kita sebut sebagai stasioner (disebut juga fungsi diam).   Kondisi suatu fungsi  y = f ( x )  dalam keadaan naik, turun, atau diam Diberikan fungsi  y = f ( x )  dalam interval  I  dengan  f ( x )  diferensiabel (dapat diturunkan) pada setiap  x  di dalam interval  I . a. Jika  f ′ ( x ) > 0 , maka kurva  f ( x )  akan selalu naik pada interval  I . b. Jika  f ′ ( x ) < 0 , maka kurva  f ( x )  akan selalu turun pada interval  I
Baca selengkapnya

INTEGRAL TERTENTU BERSAMA SIFAT-SIFATNYA BESERTA CONTOH SOALNYA

  Contoh Soal Pilihan Ganda dan Pembahasannya dari Integrasi Tertentu Soal Nomor 1 Nilai dari  ∫ 2 − 1 ( x 2 − 3 )   d x ∫ − 1 2 ( x 2 − 3 )   d x  sama dengan  ⋯ ⋅ ⋯ ⋅ A.  − 12 − 12                   C.  0 0                    E.  12 12 B.  − 6 − 6                     D.  6 6 Pembahasan Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh ∫ 2 − 1 ( x 2 − 3 )   d x = [ 1 3 x 3 − 3 x ] 2 − 1 = ( 1 3 ( 2 ) 3 − 3 ( 2 ) ) − ( 1 3 ( − 1 ) 3 − 3 ( − 1 ) ) = ( 8 3 − 6 ) − ( − 1 3 + 3 ) = 8 3 + 1 3 − 6 − 3 = 9 3 − 9 = − 6 ∫ − 1 2 ( x 2 − 3 )   d x = [ 1 3 x 3 − 3 x ] − 1 2 = ( 1 3 ( 2 ) 3 − 3 ( 2 ) ) − ( 1 3 ( − 1 ) 3 − 3 ( − 1 ) ) = ( 8 3 − 6 ) − ( − 1 3 + 3 ) = 8 3 + 1 3 − 6 − 3 = 9 3 − 9 = − 6 Jadi, nilai dari  ∫ 2 − 1 ( x 2 − 3 )   d x = − 6 ∫ − 1 2 ( x 2 − 3 )   d x = − 6 (Jawaban B) [collapse] Soal Nomor 2 Nilai dari  ∫ 1 − 1 ( − x 3 + 2 x − 1 ) 2   d x ∫ − 1 1 ( − x 3 + 2 x − 1 ) 2   d x  sama dengan  ⋯ ⋅ ⋯ ⋅ A.  332 105 332 105                    D.  372
Baca selengkapnya