Langsung ke konten utama

gambar dan perhitungan bayangan 1 titik, 1 garis, 1 persegi panjang, 1 kubus yang di transformasi oleh translasi, dilatasi, refleksi dan rotasi

Transformasi 

Geometri

Transformasi geometri merupakan perubahan suatu bidang geometri yang meliputi posisi, besar dan bentuknya sendiri. Jika hasil transformasi kongruen dengan bangunan yang ditranformasikan, maka disebut transformasi isometri. Transformasi isometri sendiri memiliki dua jenisya itu transformasi isometri langsung dan transformasi isometri berhadapan. Transformasi isometri langsung termasuk translasi dan rotasi, sedangkan transformasi isometri berhadapan termasuk refleksi.


Translasi

Translasi merupakan pergeseran atau pemindahan semua titik pada bidang geometri sejauh dan arah yang sama. Penulisan atau notasi translasi sama dengan notasi vektor. Jika titik B ditranslasi sampai titik B^I maka dapat dinotasikan:

\overrightarrow{BB^I}

Contoh:

transformasi geometri bentuk translasi

Titik A, B, dan C, masing-masing ditranslasikan ke titik AI, BI, dan CI dengan jarak dan arah yang sama.

Suatu translasi dapat ditinjau terhadap sumbu x dan sumbu y. Pergeseran sejauh a sejajar sumbu x (bergeser ke kanan a>0, ke kiri a<0) dan pergeseran sejauh b sejajar sumbu y (bergeser ke atas b>0, ke bawah b<0) dinyatakan sebagai:

T =\left(\begin{array}{r} a\\ b\end{array}\right)

Dengan a dan b adalah komponen translasi. Bentuk-bentuk translasi sejauh (\frac{a}{b}) sebagai berikut:

Posisi Awal

Posisi Akhir

Pergeseran

Translasi Titik

A(x, y)
  • AI (x+a, y+b)
    Dengan x dan y adalah koordinat
translasi titik

Translasi Garis

mx+ny=c
  • m(x + a) + n(y + b) = c
    Dengan m dan n adalah koefisien dan c konstanta
translasi garis

Translasi Kurva

y = mx2+ kx + l
  • (y+b) = m(x+a)^2 + k(x+a) + l
    Dengan m dan k adalah koefisien dan l konstanta
translasi kurva

Translasi Lingkaran

x2 + y2 = c
  • (x + a)^2 + (y + b)^2 = c
    Dengan c adalah konstanta
translasi lingkaran


Refleksi

Refleksi merupakan transformasi geometri berupa pergeseran atau pemindahan semua titik pada bidang geometri kearah sebuah garis atau cermin dengan jarak sama dengan dua kali jarak titik kecermin. Ada dua sifat penting dalam refleksi:

Contoh :

refleksi

Bentuk refleksi terhadap berbagai garis sebagai berikut:

TitikGaris/KurvaGambar Refleksi
AwalBayanganAwalBayangan

Refleksi sumbu y

A(x, y)AI (-x, y)y = f(x)yI = f(-x) refleksi sumbu y

Refleksi sumbu y = h

A(x, y)AI (x, 2h – y)y = f(x)yI = 2h – f(x) refleksi sumbu y = h

Refleksi sumbu x = h

A(x, y)AI (2h – x, y)y = f(x)yI = f(2h – x) refleksi sumbu x = h

Refleksi sumbu y = x

A(x, y)AI (y, x)y = f(x)x = f(y) refleksi sumbu y = x

Refleksi sumbu y = -x

A(x, y)AI (-y, -x)y = f(x)x = -f(-y) refleksi sumbu y = -x

Refleksi terhadap titik O (0,0)

A(x, y)AI (-x, -y)y = f(x)yI = -f(-x) refleksi titik 00

Selain refleksi terhadap garis diatas, titik dan kurva juga dapat direfleksikan terhadap suatu garis y=mx+k. Berikut refleksinya:

refleksi terhadap garis dan kurva

 

Dapat di gambarkan:

transformasi geometri pencerminan

Rotasi

Rotasi atau perputaran merupakan transformasi geometri berupa pergeseran atau pemindahan semua titik pada bidang geometri sepanjang busur lingkaran yang memiliki titik pusat lingkaran sebagai titik rotasi. Rotasi dinyatakan positif jika arahnya berlawanan jarum jam, dan bernilai negatif jika searah jarum jam. Sebagai contoh:

rotasi transformasi geometri

Titik A berotasi 90o berlawanan arah jarum jam. Dalam diagram cartesius, bentuk-bentuk rotasi sebagai berikut:

gambar dan persamaan rotasi

Dilatasi

Dilatasi merupakan transformasi geometri berupa perkalian yang memperbesar atau memperkecil suatu bangunan geometri. Dalam konsep dilatasi, ada yang disebut titik dilatasi dan faktor dilatasi.

Titik dilatasi merupakan titik yang menentukan posisi suatu dilatasi. Titik dilatasi menjadi titik pertemuan dari semua garis lurus menghubungkan antara titik-titik dalam suatu bangun ketitik-titik hasil dilatasi.

Faktor dilatasi merupakan faktor perkalian suatu bangun geometri yang didilatasikan. Faktor ini menunjukan seberapa besar hasil dilatasi terhadap bangun geometrinya dan dinotasikan dengan k. Nilai k > 1 atau k < -1 menunjukan hasil dilatasi lebih besar dari geometrinya. Nilai -1 < k < 1 menunjukan hasil dilatasi lebih kecil dari geometrinya. Tanda positif mengartikan geometri dan hasil dilatasi berdampingan di salah satu sisi titik dilatasi. Sedangkan tanda negatif mengartikan geometri dan hasil dilatasi saling terbalik dan berlainan sisi di titik dilatasi.

Dilatasi dapat ditulis:

(D, k) = (Titik dilatasi, faktor dilatasi)

Konsep dilatasinya:

Faktor DilatasiBentuk Dilatasi
k > 1bentuk dilatasi k lebih besar dari 1
0 < k < 1bentuk dilatasi diantara 0 dan 1
k < -1bentuk dilatasi lebih kecil dari -1
-1 < k < 0bentuk dilatasi diantara -1 dan 0

Dengan ketentuan:

  • k adalah titik dilatasi
  • A salah satu titik geometri
  • AI hasil dilatasi titik A

Dalam diagram cartesius, bentuk-bentuk rotasi sebagai berikut:

gambar rumus persamaan dilatasi

Matriks Transformasi

Secara umum, transformasi geometri dapat dinyatakan dalam bentuk matriks \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}yang memetakan titik (x,y) ke titik (x’,y’ ) dengan persamaan:

\left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr} a&b\\ c&d\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right)

Atau

\left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right)= \frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{rr} d&-b\\ -c&a\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right)

Bentuk-bentuk matriks transformasi sebagai berikut:

matriks transformasi geometri

Determinan dan Luas

Hasil transformasi bangun geometri memiliki luas yang berbeda dengan bangun awalnya. Untuk mendapatkan luas dari sebuah bangun geometri yang telah ditransformasi dapat dicari dengan determinan matriks transformasi. Yaitu:

Luas A^I = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \times luas A

Dengan \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad-bc dan diketahui luas awalnya.

Contoh Soal Transformasi Geometri dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Persamaan peta garis 3x – 4y = 12, karena refleksi terhadap garis y – x = 0, dilanjutkan oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks  \left(\begin{array}{rr} -3&5\\ -1&1\end{array}\right) adalah… (UAN ’03)

Pembahasan 1:

Diketahui matriksnya:

Rotasi = \left(\begin{array}{rr} 0&1\\ 1&0\end{array}\right)

Transformasi = \left(\begin{array}{rr} -3&5\\ -1&1\end{array}\right)

Persamaan garis direfleksi kemudian ditransformasi adalah:

\left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} -3&5\\ -1&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} 0&1\\ 1&0\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} 5&-3\\ 1&-1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right)

\left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) = - \frac{1}{2} \left(\begin{array}{rr} -1&3 \\ -1&5\end{array} \right) \left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right) = \begin{pmatrix} \frac{x'-3y'}{2} \\ \frac{x'-5y'}{2} \end{pmatrix}

Kemudian disubstitusikan:

3x - 4y = 12 \overset{substitusi}{\rightarrow}3 (\frac{x'- 3y'}{2}) - 4(\frac{x'-5y'}{2}) = 12

3(x' - 3y') - 4(x'- 5y') = 24

3x' - 9y' - 4x' + 20y' =24

-x' + 11y' =24

Hasilnya:

11y - x =24

Contoh Soal 2

Pencerminan terhadap sumbu x adalah A, pencerminan terhadap sumbu y adalah B dan rotasi 180o terhadap puasat O adalah H. Tentukan matriks B(A(HA)). (UMPTN ’90)

Pembahasan 2:

Diketahui:

  • Pencerminan terhadap sumbu x,A = \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ 0&-1\end{array}\right)
  • Pencerminan terhadap sumbu  y,B = \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&1\end{array}\right)
  • Rotasi 180o, H = \left(\begin{array}{rr} cos 180 &-sin180 \\ sin 180 & cos 180\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&-1\end{array}\right)

Maka:

B(A(HA)) = \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&1\end{array}\right) ( \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ 0&-1\end{array}\right) [ \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&-1\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&-1\end{array}\right) ]))

= \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&1\end{array}\right) ( \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ 0&-1\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&1\end{array}\right) )

= \left(\begin{array}{rr} -1&0 \\ 0&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&-1\end{array}\right)

= \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ 0&-1\end{array}\right)

Contoh Soal 3

Oleh matriks A = \left(\begin{array}{rr} a+2&a\\ 1&a+1\end{array}\right), titik P(1, 2) dan titik Q masing-masing ditransformasikan ke titik P'(2, 3) dan Q'(2,0). Tentukan koordinat titik Q. (SPMB’04)

Pembahasan 3:

Mencari nilai a dari transformasi P:

\left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rr} a+2&a\\ 1&a+1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right)\overset{sehingga}{\rightarrow}\left(\begin{array}{r} 2\\ 3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} a+2&a\\ 1&a+1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} 1\\ 2\end{array}\right)\overset{menjadi}{\rightarrow}\left(\begin{array}{r} 2\\ 3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} 2 + 3a\\ 3 + 2a\end{array}\right)

a = 0

Sehingga matriksnya:

A = \left(\begin{array}{rr} a+2&a\\ 1&a+1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} 2&0\\ 1&1\end{array}\right)

Mencari titik Q:

\left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} 2&0\\ 1&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) \overset{sehingga}{\rightarrow} \left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) = \frac{1}{2} \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ -1&2\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right) \overset{disubstitusi} = {\rightarrow} \left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) = \frac{1}{2} \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ -1&2\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} 2\\0\end{array}\right)

\left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 1\\ -1\end{array}\right)

Sehingga:

Q (1, -1)








Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA DAN GARIS NORMAL

Gambar
  Garis Singgung Sebuah garis disebut sebagai garis singgung kurva jika garis tersebut hanya memiliki satu titik persekutuan (titik singgung) dengan kurva. Karena garis singgung hanya memiliki satu titik persekutuan dengan kurva, maka untuk mendapatkan nilai kemiringannya dapat kita dekati dengan garis lain (garis secan) yang gradiennya dapat ditentukan secara langsung. Untuk melihat pergerakan garis lain (garis secan) menjadi garis singgung Garis singgung bergradien m, jika titik yang dilaluinya adalah titik singgung A(x 1 ,y 1 ) maka persamaan garis singgungnya adalah    Persamaan garis normal bergradien  dan melalui A(x 1 ,y 1 )   Garis Normal Pada setiap garis singgung suatu kurva, terdapat garis normal yang tegak lurus dengan garis singgung tersebut.     Bagaimana hubungan antara garis normal dan garis singgung? Garis normal merupakan garis yang melalui titik singgung dan tegak lurus dengan garis singgung.       Contoh Soa...
Baca selengkapnya

PENGERTIAN TURUNAN DAN SIFAT-SIFATNYA BERSAMA CONTOH SOALNYA

Gambar
 PENGERTIAN TURUNAN DAN SIFAT-SIFATNYA BERSAMA CONTOH SOALNYA Turunan - merupakan suatu perhitungan terhadap perubahan nilai fungsi karena perubahan nilai input (variabel). Turunan dapat disebut juga sebagai diferensial dan proses dalam menentukan turunan suatu fungsi disebut sebagai diferensiasi. Menggunakan konsep limit yang sudah dipelajari, turunan dapat didefinisikan sebagai turunan tersebut didefinisikan sebagai limit dari perubahan rata-rata dari nilai fungsi terhadap variabel x. SIFAT-SIFAT TURUNAN Aturan Konstanta Jika  f(x) = k  dengan  k  suatu konstanta maka untuk sebarang  x ,  f'(x) = 0  yakni  D x (k) = 0 Aturan Fungsi Identitas Jika  f(x) = x  maka  f'(x) = 1  yakni  D x (x) = 1 Aturan Pangkat Jika f(x) = x n , dengan n bilangan-bilangan bulat positif maka f(x) = nx n-1  yakni  D x (x n ) = nx n-1 Aturan Kelipatan Konstan Jika  k  suatu konstanta dan  f  suatu fungsi yang...
Baca selengkapnya

INTEGRAL TERTENTU BERSAMA SIFAT-SIFATNYA BESERTA CONTOH SOALNYA

  Contoh Soal Pilihan Ganda dan Pembahasannya dari Integrasi Tertentu Soal Nomor 1 Nilai dari  ∫ 2 − 1 ( x 2 − 3 )   d x ∫ − 1 2 ( x 2 − 3 )   d x  sama dengan  ⋯ ⋅ ⋯ ⋅ A.  − 12 − 12                   C.  0 0                    E.  12 12 B.  − 6 − 6                     D.  6 6 Pembahasan Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh ∫ 2 − 1 ( x 2 − 3 )   d x = [ 1 3 x 3 − 3 x ] 2 − 1 = ( 1 3 ( 2 ) 3 − 3 ( 2 ) ) − ( 1 3 ( − 1 ) 3 − 3 ( − 1 ) ) = ( 8 3 − 6 ) − ( − 1 3 + 3 ) = 8 3 + 1 3 − 6 − 3 = 9 3 − 9 = − 6 ∫ − 1 2 ( x 2 − 3 )   d x = [ 1 3 x 3 − 3 x ] − 1 2 = ( 1 3 ( 2 ) 3 − 3 ( 2 ) ) − ( 1 3 ( − 1 ) 3 − 3 ( − 1 ) ) = ( 8 3 − 6 ) − ( − 1 3 + 3 ) = 8 3 + 1 3 − 6 − 3 = 9 3 − 9 = − 6 Jadi, nilai dari  ∫ 2 − 1 ( x 2 − 3 )   d x = − 6 ∫ ...
Baca selengkapnya