Transformasi

Geometri

Transformasi geometri merupakan perubahan suatu bidang geometri yang meliputi posisi, besar dan bentuknya sendiri. Jika hasil transformasi kongruen dengan bangunan yang ditranformasikan, maka disebut transformasi isometri. Transformasi isometri sendiri memiliki dua jenisya itu transformasi isometri langsung dan transformasi isometri berhadapan. Transformasi isometri langsung termasuk translasi dan rotasi, sedangkan transformasi isometri berhadapan termasuk refleksi.

Translasi

Translasi merupakan pergeseran atau pemindahan semua titik pada bidang geometri sejauh dan arah yang sama. Penulisan atau notasi translasi sama dengan notasi vektor. Jika titik B ditranslasi sampai titik $B^I$ maka dapat dinotasikan:

$\overrightarrow{BB^I}$

Contoh:

transformasi geometri bentuk translasi

Titik A, B, dan C, masing-masing ditranslasikan ke titik AI, BI, dan CI dengan jarak dan arah yang sama.

Suatu translasi dapat ditinjau terhadap sumbu x dan sumbu y. Pergeseran sejauh a sejajar sumbu x (bergeser ke kanan a>0, ke kiri a<0) dan pergeseran sejauh b sejajar sumbu y (bergeser ke atas b>0, ke bawah b<0) dinyatakan sebagai:

$T =\left(\begin{array}{r} a\\ b\end{array}\right)$

Dengan a dan b adalah komponen translasi. Bentuk-bentuk translasi sejauh $(\frac{a}{b})$ sebagai berikut:

Posisi Awal	Posisi Akhir	Pergeseran
Translasi Titik
A(x, y)	AI (x+a, y+b) Dengan x dan y adalah koordinat
Translasi Garis
mx+ny=c	m(x + a) + n(y + b) = c Dengan m dan n adalah koefisien dan c konstanta
Translasi Kurva
y = mx2+ kx + l	$(y+b) = m(x+a)^2 + k(x+a) + l$ Dengan m dan k adalah koefisien dan l konstanta
Translasi Lingkaran
x2 + y2 = c	$(x + a)^2 + (y + b)^2 = c$ Dengan c adalah konstanta

Refleksi

Refleksi merupakan transformasi geometri berupa pergeseran atau pemindahan semua titik pada bidang geometri kearah sebuah garis atau cermin dengan jarak sama dengan dua kali jarak titik kecermin. Ada dua sifat penting dalam refleksi:

Jarak titik kecermin sama dengan jarak bayangan titik ke cermin.
Geometri yang direfleksikan berhadapan dengan petanya.

Contoh :

refleksi

Bentuk refleksi terhadap berbagai garis sebagai berikut:

Titik		Garis/Kurva		Gambar Refleksi
Awal	Bayangan	Awal	Bayangan	Gambar Refleksi
Refleksi sumbu y
A(x, y)	AI (-x, y)	y = f(x)	yI = f(-x)
Refleksi sumbu y = h
A(x, y)	AI (x, 2h – y)	y = f(x)	yI = 2h – f(x)
Refleksi sumbu x = h
A(x, y)	AI (2h – x, y)	y = f(x)	yI = f(2h – x)
Refleksi sumbu y = x
A(x, y)	AI (y, x)	y = f(x)	x = f(y)
Refleksi sumbu y = -x
A(x, y)	AI (-y, -x)	y = f(x)	x = -f(-y)
Refleksi terhadap titik O (0,0)
A(x, y)	AI (-x, -y)	y = f(x)	yI = -f(-x)

Selain refleksi terhadap garis diatas, titik dan kurva juga dapat direfleksikan terhadap suatu garis y=mx+k. Berikut refleksinya:

refleksi terhadap garis dan kurva

Dapat di gambarkan:

transformasi geometri pencerminan

Rotasi

Rotasi atau perputaran merupakan transformasi geometri berupa pergeseran atau pemindahan semua titik pada bidang geometri sepanjang busur lingkaran yang memiliki titik pusat lingkaran sebagai titik rotasi. Rotasi dinyatakan positif jika arahnya berlawanan jarum jam, dan bernilai negatif jika searah jarum jam. Sebagai contoh:

rotasi transformasi geometri

Titik A berotasi 90o berlawanan arah jarum jam. Dalam diagram cartesius, bentuk-bentuk rotasi sebagai berikut:

gambar dan persamaan rotasi

Dilatasi

Dilatasi merupakan transformasi geometri berupa perkalian yang memperbesar atau memperkecil suatu bangunan geometri. Dalam konsep dilatasi, ada yang disebut titik dilatasi dan faktor dilatasi.

Titik dilatasi merupakan titik yang menentukan posisi suatu dilatasi. Titik dilatasi menjadi titik pertemuan dari semua garis lurus menghubungkan antara titik-titik dalam suatu bangun ketitik-titik hasil dilatasi.

Faktor dilatasi merupakan faktor perkalian suatu bangun geometri yang didilatasikan. Faktor ini menunjukan seberapa besar hasil dilatasi terhadap bangun geometrinya dan dinotasikan dengan k. Nilai k > 1 atau k < -1 menunjukan hasil dilatasi lebih besar dari geometrinya. Nilai -1 < k < 1 menunjukan hasil dilatasi lebih kecil dari geometrinya. Tanda positif mengartikan geometri dan hasil dilatasi berdampingan di salah satu sisi titik dilatasi. Sedangkan tanda negatif mengartikan geometri dan hasil dilatasi saling terbalik dan berlainan sisi di titik dilatasi.

Dilatasi dapat ditulis:

(D, k) = (Titik dilatasi, faktor dilatasi)

Konsep dilatasinya:

Faktor Dilatasi	Bentuk Dilatasi
k > 1
0 < k < 1
k < -1
-1 < k < 0

Dengan ketentuan:

k adalah titik dilatasi
A salah satu titik geometri
AI hasil dilatasi titik A

Dalam diagram cartesius, bentuk-bentuk rotasi sebagai berikut:

gambar rumus persamaan dilatasi

Matriks Transformasi

Secara umum, transformasi geometri dapat dinyatakan dalam bentuk matriks $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ yang memetakan titik (x,y) ke titik (x’,y’ ) dengan persamaan:

$\left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr} a&b\\ c&d\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right)$

Atau

$\left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right)= \frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{rr} d&-b\\ -c&a\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right)$

Bentuk-bentuk matriks transformasi sebagai berikut:

matriks transformasi geometri

Determinan dan Luas

Hasil transformasi bangun geometri memiliki luas yang berbeda dengan bangun awalnya. Untuk mendapatkan luas dari sebuah bangun geometri yang telah ditransformasi dapat dicari dengan determinan matriks transformasi. Yaitu:

Luas $A^I = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \times luas A$

Dengan $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad-bc$ dan diketahui luas awalnya.

Contoh Soal Transformasi Geometri dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Persamaan peta garis 3x – 4y = 12, karena refleksi terhadap garis y – x = 0, dilanjutkan oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks $\left(\begin{array}{rr} -3&5\\ -1&1\end{array}\right)$ adalah… (UAN ’03)

Pembahasan 1:

Diketahui matriksnya:

Rotasi = $\left(\begin{array}{rr} 0&1\\ 1&0\end{array}\right)$

Transformasi = $\left(\begin{array}{rr} -3&5\\ -1&1\end{array}\right)$

Persamaan garis direfleksi kemudian ditransformasi adalah:

$\left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} -3&5\\ -1&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} 0&1\\ 1&0\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} 5&-3\\ 1&-1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) = - \frac{1}{2} \left(\begin{array}{rr} -1&3 \\ -1&5\end{array} \right) \left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right) = \begin{pmatrix} \frac{x'-3y'}{2} \\ \frac{x'-5y'}{2} \end{pmatrix}$

Kemudian disubstitusikan:

$3x - 4y = 12 \overset{substitusi}{\rightarrow}3 (\frac{x'- 3y'}{2}) - 4(\frac{x'-5y'}{2}) = 12$

$3(x' - 3y') - 4(x'- 5y') = 24$

$3x' - 9y' - 4x' + 20y' =24$

$-x' + 11y' =24$

Hasilnya:

$11y - x =24$

Contoh Soal 2

Pencerminan terhadap sumbu x adalah A, pencerminan terhadap sumbu y adalah B dan rotasi 180o terhadap puasat O adalah H. Tentukan matriks B(A(HA)). (UMPTN ’90)

Pembahasan 2:

Diketahui:

Pencerminan terhadap sumbu $x,A = \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ 0&-1\end{array}\right)$
Pencerminan terhadap sumbu $y,B = \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&1\end{array}\right)$
Rotasi 180o, $H = \left(\begin{array}{rr} cos 180 &-sin180 \\ sin 180 & cos 180\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&-1\end{array}\right)$

Maka:

$B(A(HA)) = \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&1\end{array}\right) ( \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ 0&-1\end{array}\right) [ \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&-1\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&-1\end{array}\right) ]))$

$= \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&1\end{array}\right) ( \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ 0&-1\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&1\end{array}\right) )$

$= \left(\begin{array}{rr} -1&0 \\ 0&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&-1\end{array}\right)$

$= \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ 0&-1\end{array}\right)$

Contoh Soal 3

Oleh matriks $A = \left(\begin{array}{rr} a+2&a\\ 1&a+1\end{array}\right)$ , titik $P(1, 2)$ dan titik Q masing-masing ditransformasikan ke titik $P'(2, 3)$ dan $Q'(2,0)$ . Tentukan koordinat titik Q. (SPMB’04)

Pembahasan 3:

Mencari nilai a dari transformasi P:

$\left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rr} a+2&a\\ 1&a+1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right)\overset{sehingga}{\rightarrow}\left(\begin{array}{r} 2\\ 3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} a+2&a\\ 1&a+1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} 1\\ 2\end{array}\right)\overset{menjadi}{\rightarrow}\left(\begin{array}{r} 2\\ 3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} 2 + 3a\\ 3 + 2a\end{array}\right)$

$a = 0$

Sehingga matriksnya:

$A = \left(\begin{array}{rr} a+2&a\\ 1&a+1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} 2&0\\ 1&1\end{array}\right)$

Mencari titik Q:

$\left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} 2&0\\ 1&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) \overset{sehingga}{\rightarrow} \left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) = \frac{1}{2} \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ -1&2\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right) \overset{disubstitusi} = {\rightarrow} \left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) = \frac{1}{2} \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ -1&2\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} 2\\0\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 1\\ -1\end{array}\right)$

Sehingga:

Q (1, -1)

Sin dan Cos

gambar dan perhitungan bayangan 1 titik, 1 garis, 1 persegi panjang, 1 kubus yang di transformasi oleh translasi, dilatasi, refleksi dan rotasi