Soal dan Pembahasan Trigonometri

KD 3.7
1. Menyelesaikan cara merubah satuan pengukuran sudut trigonometri radian ke derajat, derajat ke radian.

Soal 1:
Berapa derajatkah sudut 3,5 radian?
Jawab:
3,5 radian = 3,5 x(180°/π) = 200,535°

Soal 2 :
Hitunglah sudut 2,2 radian dalam derajat!
Jawab:
2,2 radian = 2,2 x (180°/π) = 126°

Soal 3 :
15° berapa radian?
Jawab:
15° = 15 x (π/180) = 0,265 radian

Soal 4 :
Nyatakan sudut 60° dalam π radian!
Jawab:
60° = 60 x (π/180) = π/3 radian


2. Menyelesaikan rasio trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada segitiga siku-siku dan sudut istimewa (60°, 30°, 45°).

Soal 1 :

Tentukan luas segitiga !
Jawaban :
Luas segitiga = ½ 3.5. sin 30° = ½.3.5.½ = 15/4 = 3,75 cm

Soal 2 :
Pada ∆ ABC diketahui a+b=10 , sudut A=30˚ dan sudut 45˚ , maka panjang sisi b adalah…
Jawaban:
a+b=10
a=10-b
Aturan Sinus
a/sin A = b/sin B
10-b/ sin 30 = b/sin 45
10-b/1/2= b/√2/2
√2/2(10-b)=b/2
(10√2-b√2)/2=b/2
5√2-b√2/2=b/2
5√2=b√2/2 + b/2
5√2=(b√2+b)/2
5√2=b(√2+1)/2
b=5√2 x 2/(√2+1)
b=10√2/(√2+1) x (√2-1)/(√2-1)
b=20-10√2
b=10(2-√2)

Soal 3 :
Pada segitiga ABC lancip, diketahui cos A = 4/5 dan sin B =12/ 13 , maka sin C = ...
Jawaban:
Karena segitiga ABC lancip , maka sudut A,B dan C juga lancip, sehingga :
cos A = 4/5, maka sin A = 3/5,  (ingat cosami, sindemi dan tandesa)
sin B = 12/13, maka cos  B = 5/13
A + B + C = 180°,  (jml sudut -sudut dalam satu segitiga = 180)
A + B = 180 – C
sin (A + B) = sin (180 – C)
sin A . cos B + cos A.sin B = sin C, (ingat sudut yang saling berelasi : sin(180-x) = sin x)
Tusin C = sin A.cos B + cos A.sin B
sin C = 3/5.5/13 + 4/5.12/13
sin C = 15/65 + 48/65 = 63/65


3. Menyelesaikan rasio trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada segitiga siku-siku di dalam koordinat kartesius.

Soal 1 :
Perhatikan gambar dibawah! Nilai sin β adalah . .

Jawaban :
x = - 8 , y = 15, r = 7
Phytagoras Koordinat Cartesius
sin = ordinat / radius
sin β = y / r = 15/17 = B

Soal 2 :
Perhatikan gambar dibawah! Cos θ = ...

Jawaban :
x = 7 , y = -24 , r = 25 (phytagoras)
Koordinat Cartesius >> cos = absis / radius
cos θ = x / r = 7 / 25


4. Menyelesaikan nilai trigonometri pada suatu sudut segitiga siku-siku pada koordinat cartesius.

Soal 1 :
Jika sin α = 5 / 13, dengan α sudut lancip, maka cos α =...
Jawaban :
cos α = 12 / 13

Soal 2 :
Jika tan A = 3 / 4 , dengan A sudut lancip. Maka 2sin A + cos A = ...
Jawaban :
sin A = 3 / 5 dan cos A = 4 / 5 berarti,
2sin A + cos A = 2,3/5 + 4/5 = 10 / 5 = 2

5. Menyelesaikan komposisi operasi (+,-,:, dan •) nilai trigonometri

Soal 1 :
Nilai dari cos 60° cos 30° - sin 60° sin 30° adalah
Jawab :
Cos 60 cos 30 - sin 60 sin 30
= ½.½√3 - ½√3.½
= ¼√3 - ¼√3
= 0



KD 3.8
1. Menyelesaikan rasio trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran.

Soal 1 :
Menentukan nilai fungsi trigonometri untuk sudut lebih dari 90°.
Jawab :
sin 150° = sin (90°+60°)
sin 150° = (+) cos 60° (berubah, sin menjadi cos)
sin 150° = 1 / 2
sin 150° = sin (180°-30°)
sin 150° = (+) sin 30° (tetap, sin tetap sin)
sin 150° = 1 / 2
cos 210° = cos (180°+30°)
cos 210° = - cos 30° (tetap, cos tetap cos)
cos 210° = -1/2 √3
cos 210° = cos (270°-60°)
cos 210° = - sin 60° (berubah, cos menjadi sin)
cos 210° = -1/2 √3


2. Menyelesaikan rasio trigonometri untuk sudut-sudut berelasi (kuadran I, II, III, IV) sudut negative, dan sudut > 360°.

Soal 1 :
Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya
sin 20°
tan 40°
cos 53°
Jawab :
sin 20° = sin (90° − 70°)
             = cos 70°
tan 40° = tan (90° − 50°)
              = cot 50°

cos 53° = cos (90° − 37°)
               = sin 37°
Jika diperhatikan pada sin yang berubah menjadi cos, kemudian tan berubah jadi cot sedangkan cos berubah menjadi sin karena relasi yang dipaka adalah (90° − α) dan ketiga perbandingan trigonometri bernilai positif, karena sudut 20°, 40° dan 53° berada di kuadran I.

Soal 2 :
Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° !
tan 143°
sin 233°
cos 323°
Jawab :
Sudut 143° adapada kuadran II, hingga tan 143° memiliki nilai negatif.
tan 143° = tan (180° − 37°)
                = -tan 37°
Sudut 233° ada pada kuadran III, sehingga sinus memiliki nilai negatif.
sin 233° = sin (270° − 37°)
                = -cos 37°
Perhatikan sin berubah menjadi cos dikarenakan relasi yang dipakai (270° − α)
Sudut 323° ada pada kuadran IV, hingga cosinus memiliki nilai positif.
cos 323° = cos (360° − 37°)
                 = cos 37°

Soal 3 :
tentukan nilai dari sin100∘−cos190∘cos350∘−sin260∘
Jawab :
sin 100° = sin (90° + 10°)
                = cos 10°
cos 190° = cos (180° + 10°)
                 = -cos 10°
 350° = cos (360° − 10°)
          = cos 10°
 260° = sin (270° − 10°)
           = -cos 10°
Hingga :
sin100°−cos190°cos350°−sin260° = cos10°−(−cos10°)cos10°−(−cos10°) = 2cos10°2cos10° = 1

3. Menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana atau persamaan identitas trigonometri = rumus identitas trigonometri

Soal 1 :

Buktikan bahwa persamaan identitas trigonometri di bawah adalah benar!

  

Bukti:

  

  

  

  

  

4. Menyelesaikan koordinat kutub ke koordinat kartesius, koordinat kartesius ke koordinat kutub

Soal 1 :

Jika titik P(4,45°) dinyatakan dengan sistem koordinat Cartesius, maka hasilnya adalah

Jawab:

x = r . cos a
x = 4 . cos 45°
x = 4 . 1/2 √2
x = 2 √2

y = r . sin a
y = 4 . sin 45°
y = 4 . 1/2 √2
y = 2 √2
(2√2, 2√2)

5. Menyelesaikansoal cerita perbandingan trigonometri.

Soal 1 :
Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B dengan kecepatan 40 km/jam selama 2 jam dengan arah 030°, kemudian melanjutkan perjalanan dari pelabuhan B menuju pelabuhan C dengan kecepatan 60 km/jam selama 2,5 jam dengan arah 150°. Buatlah sketsa perjalanan kapal dan tentukan jarak antara pelabuhan A dan C!
Pembahasan:
Jarak = kecepatan x waktu
Jarak pelabuhan A ke B adalah 40 x 2 = 80 km
Jarak pelabuhan B ke C adalah 60 x 2,5 = 150 km

Besar sudut ABC adalah 30° + 30° = 60°
Gunakan aturan cosinus untuk mencari AC
AC² = AB² + BC² - [2 x AB x BC x cos ∠ABC]
AC² = 80² + 150² - [2 x 80 x 150 x cos 60°]
AC² = 28.900 - [2 x 80 x 150 x ¹/₂]
AC² = 28.900 - 12.000
AC = √ 16.900
Diperoleh jarak antara pelabuhan A dan C sejauh 130 km

Soal 2 :
Abi dengan tinggi 180 cm mengamati puncak gedung dengan sudut elevasi 45°. Kemudian ia berjalan sejauh 12 meter mendekati gedung. Di posisi yang baru, Abi mengamati puncak gedung dengan sudut elevasi 60°. Tentukan tinggi gedung tersebut! (√3 = 1,7)
Pembahasan :
Misalkan tinggi gedung = h
Jarak antara gedung dengan posisi Abi mula-mula = 12 + x
Jarak antara gedung dengan posisi Abi yang baru = x

Pada ΔABO, hubungan antara BO dan AO adalah
BO/AO = tan 45°
h / (x + 12) = 1
h = x + 12
Siapkan x = h - 12 .... [Persamaan-1]
Pada ΔBCO, hubungan antara BO dan CO adalah
BO/CO = tan 60°
h / x = √3
h = x√3 .... [Persamaan-2]
Substitusikan Persamaan-1 ke Persamaan-2
h = (h - 12)√3
h = h√3 - 12√3
h√3 - h = 12√3
(√3 - 1) = 12√3
Rasionalkan
Diperoleh jarak BO yakni h = 6(3 + √3) meter.
Tinggi gedung = tinggi Abi + BO
Tinggi gedung = 1,8 + 18 + 6√3
Jadi tinggi gedung adalah 19,8 + 6√3 meter
Dituntaskan, tinggi gedung 19,8 + 6(1,7) = 30 meter


KD 3.9
1. Menyelesaikan aturan sinus diketahui 2 sudut dan 1 sisi

Soal 1 :

Pada segitiga ABC diketahui AC=10 cm, besar sudut B=45 derajat, dan besar sudut A=30 derajat. tentukan panjang BC.

Jawab : 

Diketahui :

Panjang AC = b = 10 cm

Sudut B = 45°

Sudut A = 30°

Ditanyakan :

Panjang BC = a = ...... 

Jawab :

Dengan aturan sinus

a/(sin A) = b/(sin B)

a/(sin 30°) = 10/(sin 45°)

a/(1/2) = 10/(1/2 √2)

a/1 = 10/(√2)

a = 10/(√2) . (√2)/(√2)

a = (10 √2)/2

a = 5 √2

Jadi panjang BC = 5 √2 cm

2. Menyelesaikan aturan sinus diketahui 1 sudut dan 2 sisi

Soal 1 :

pada segitiga ABC diketahui AB=4cm, AC=4√2, dan sudut C=30° dengan demikian sudut A sama dengan

Jawab : 

4 sin B= 4  sin30
4 sin B = 4  x 
sin B = 
sin B =  
arc sin B = 120

A+B+C=180
A+120+30=180
A+150=180
A=180-150
A=30

3. Menyelesaikan aturan cos ditanya sisi

Soal 1 :
Segitiga ABC diketahui panjang sisi a = 5 cm, panjang sisi c = 6 cm dan besar sudut B = 60º. Tentukan panjang sisi b!
Diketahui:
a = 5 cm
c = 6 cm
B = 60º
Ditanya : b?
Jawab:
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B
b2 = 52 + 62 - 2(5)(6) cos 60º
b2 = 25 + 36 - 60 (0,5)
b2 = 61 - 30
b2 = 31
b = 5,56 cm
Jadi, panjang sisi b adalah 5,56 cm


4.Menyelesaikatura cos ditanya sudut

Soal 1:
Sebuah segitiga diketahui memiliki sudut A = 30º, sisi a = 3 dan sisi b = 4. Hitung besar sudut B dan besar sudut C !
Diketahui:
A = 30º
a = 3
b = 4
Ditanya: B dan C?
Jawab:
•Menentukan besar sudut B

Karena sinus harus bernilai positif baik di kuadran I maupun kuadran II, maka sudut lain yang memenuhi adalah B = (180º - 41,8º) = 138,2º

•Menentukan besar sudut C
Jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah 180º, oleh karena itu berlaku:
A + B + C = 180º → C = 180º - (A + B)
Untuk B = 41,8º → C = 180º - (30º + 41,8º) = 108,2º
Untuk B = 138,2º → C = 180º - (30º + 138,2º) = 11,8º


5. Menyelesaikan Luas Segitiga jika diketahui : 1 sudut 2 sisi, 3 sisi , 2 sudut 1 sisi

Soal 1 :

Diketahui segitiga abc dengan ab= 6 cm,ac= 8 cm sudut a= 150 derajat. Luas segitiga abc

jawab : 

L = ½.ab.ac.Sin a
L = ½.6.8.Sin 150°
L = 12 cm²

Soal 2 :
Pembahasan :

Dik : B = 30o, C = 37o, a = 8 cm
Dit : L = .... ?

Langkah pertama kita tentukan besar sudut A :
⇒ A + B + C = 180o
⇒ A = 180o - (B + C)
⇒ A = 180o - (30o + 37o)
⇒ A = 180o - 67o
⇒ A = 113o

Berdasarkan rumus di atas :

⇒ L =	a2 sin B sin C
	2 sin A

⇒ L =	82 sin 30o sin 37o
	2 sin 113o

⇒ L =	64 (0,5) (0,6)
	2 (0,92)

⇒ L =	19,2
	1,84

⇒ L = 10,42 cm

Jadi, luas segitiga tersebut yaitu 10,42 cm.

Soal 3 :

Pada segitiga ABC diketahui AB = 4 cm, AC = 6 cm dan BC = 8 cm. maka luas segitiga ABC adalah

Jawab: 

K = 4+6+8 = 18 cm

s = K/2 = 18/2 = 9 cm

Luas segitiga
= √(s(s-AB)(s-AC)(s-BC))
= √(9(9-4)(9-6)(9-8))
= √(9.5.3.1)
= √135 = 3√15 cm²

KD 3.7
1. Menyelesaikan sudut elevasi, sudut depresi

Soal 1 :

Budi melihat puncak menara dengan sudut elevasi 30°. Jika jarak antara Budi dan menara yang dilihatnya adalah 150 m dan tinggi Budi adalah 120 cm maka tinggi menara tersebut adalah …

Jawab

tan 30⁰ = 

x =   . 150  

x = 50√3  

Jadi tinggi menara adalah

= x + tinggi Budi

= 50√3 m + 120 cm

= 50√3 m + 1,2 m

= (50√3 + 1,2) m

Soal 2 :

Seorang anak dengan tinggi 160 cm berdiri pada jarak 12 m dari kaki tiang bendera. Jika sudut depresi dari puncak tiang terhadap anak adalah 45° maka tinggi tiang bendera itu adalah …

Jawab

tan 45⁰ = 

1 = 

x = 12  

Jadi tinggi tiang bendera adalah

= x + tinggi anak

= 12 m + 160 cm

= 12 m + 1,6 m

= 13,6 m

KD 3.10

1. Menyelesaikan gambar fungsi trigonometri f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x, f(x) = csc x, f(x) = sec x, f(x) = cot x 

Grafik di atas adalah grafik fungsi 

$\cdots \cdot$

Grafik di atas merupakan modifikasi grafik cosinus (karena tidak dimulai dari garis normal di sumbu-$X$) dengan bentuk umum $f\left(x\right)=a\cos kx$.
Grafik juga menunjukkan bahwa nilai maksimum fungsinya $\frac{1}{2}$, sedangkan nilai minimumnya $-\frac{1}{2}$, sehingga
$\begin{array}{cc}a& =\frac{\text{N. Maksimum}-\text{N. Minimum}}{2}\\ & =\frac{\frac{1}{2}-(-\frac{1}{2})}{2}=\frac{1}{2}\end{array}$
Saat $x=0^{\circ }$, nilai fungsinya $\frac{1}{2}$, lalu berulang kembali di $x=\pi$, sehingga periodenya $\pi$. Dengan demikian, $k=\frac{2\pi }{\text{Periode}}=\frac{2\pi }{\pi }=2$.
Jadi, grafik fungsi di atas adalah grafik fungsi 

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cos 2x$

2. Menyelesaikan membaca gambar fungsi trigonometri f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x, f(x) = csc x, f(x) = sec x, f(x) = cot x 
Soal 1 :

Pada interval 45°< x < 90° maka grafik dari y = 3 cos 2x akan

Diketahui:

y = 3 cos 2x

Ditanya: grafik y = 3 cos 2x pada interval 45° ≤ x ≤ 90°

Jawab:

Untuk menggambar grafik, diperlukan titik-titik yang melalui koordinat (x, y). Titik-titik tersebut diperoleh dengan cara mendaftar anggota pada grafik y = 3 cos 2x .

Karena hanya diperlukan pada interval 45° ≤ x ≤ 90° , maka kita hanya akan mendaftar sudut-sudut istimewa pada interval tersebut. Sudut istimewa diantara 45° - 90° adalah: 45°, 60°, dan 90°. Maka diperoleh:

x = 45°, 60°, dan 90°

subtitusikan nilai x satu persatu kedalam persamaan y

untuk x = 45°

y = 3 cos 2x

y = 3 cos 2(45°)

y = 3 cos 90°

y = 3(0)

y = 0

Maka diperoleh titik (45°, 0)

untuk x = 60°

y = 3 cos 2x

y = 3 cos 2(60°)

y = 3 cos 120°

Ingat! cos 120° terletak di kuadran II

y = 3 (-cos (180° - 60°))

y = 3

y = 

Maka diperoleh titik (60°, )

untuk x = 90°

y = 3 cos 2x

y = 3 cos 2(90°)

y = 3 cos 180°

y = 3(-1)

y = -3

Maka diperoleh titik (90°, -3)

Dari titiik-titik tersebut kemudian digambar pada bidang kartesisus. Gambar grafik dapat dilihat pada lampiran. Dari grafik tersebut terlihat bahwa grafik y = 3 cos 2x terletak di bawah sumbu- x, atau pada sumbu- y negatif, dan graik tersebut juga terbuka ke atas.

∴ Jadi graik y = 3 cos 2x pada interval 45° ≤ x ≤ 90° akan terbuka keatas dan di bawah sumbu-x atau pada sumby-y negatif.

3. Menyelesaikan range nilai fungsi trigonometri f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x, f(x) = csc x, f(x) = sec x, f(x) = cot x 

Soal 1 :

Pada interval 0° < x < 90° grafik fungsi seluruhnya berada di atas sumbu x. fungsi tersebut adalah

Jawab:

y = sin 2* 0 = sin  0 = 0

y = sin 2 * 45 = sin 90 = 1

y = sin 2 * 90 = sin 180 = 0

jadi  fungsi y = sin 2x

4. Menyelesaikan fungsi trigonometri dengan menggunakan lingkaran satuan untuk menentukan periode maksimum dan minimum

Soal 1 : 

Nilai maksimum dari fungsi y = 4 sin x cos x adalah...

Jawab :

Nilai maksimum dari fungsi y = 4 sin x cos x adalah 2. Nilai dari sin ax dan cos ax adalah –1 ≤ sin ax ≤ 1 dan –1 ≤ cos ax ≤ 1, sehingga:

Nilai maksimum dari sin ax dan cos ax adalah 1

Nilai minimum dari sin ax dan cos ax adalah –1  

dengan a adalah bilangan real

Rumus sudut rangkap pada trigonometri

sin 2A = 2 sin A cos A

cos 2A = cos² A – sin² A

cos 2A = 2 cos² A – 1

cos 2A = 1 – 2 sin² A

tan 2A = 

y = 4 sin x cos x

y = 2 . 2 sin x cos x

y = 2 . sin 2x

y = 2 sin 2x

karena nilai dari sin 2x adalah –1 ≤ sin 2x ≤ 1, maka y = 2 sin 2x akan bernilai maksimum jika sin 2x = 1

sehingga nilai maksimum dari y = 4 sin x cos x adalah

y = 2 sin 2x

y = 2 (1)

y = 2

Soal 2 : 

Nilai minimum dari fungsi y = √3 cos x - sin x adalah...

Jawab : 

Nilai Maksimum minimum fungsi trigonometri

y = √3 cos x - sin x  ubah  bentu ke y = k  cos ( x -  a)
a= √3
b = - 1
k = √(a²+b²)
k = √(3 +1)= +_2
Nilai minimum nya = -2