Transformasi - Translasi, Refleksi, Rotasi dan Dilatasi

September 27, 2020

Contoh 1 – Soal Translasi

Hasil translasi titik P1(3, –2) oleh T1 dilanjutkan dengan T2,

$T_{2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

menghasilkan titik P2 (8, 7). Komponen translasi dari T1 yang sesuai adalah ….

$\textrm{A.} \; \; \; \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\textrm{B.} \; \; \; \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \end{pmatrix}$

$\textrm{C.} \; \; \; \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}$

$\textrm{D.} \; \; \; \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \end{pmatrix}$

$\textrm{E.} \; \; \; \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix}$

Pembahasan:

Misalkan:

$T_{1} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$

Maka,

$T_{2} \bullet T_{1} = \begin{pmatrix} a + 4 \\ b + 1 \end{pmatrix}$

Perhatikan proses translasi berikut.

Mencari nilai a:

3 + a + 2 = 8
a + 5 = 8
a = 8 – 5 = 3

Mencari nilai b:

-2 + b + 1 = 7
b – 1 = 7
b = 7 + 1 = 8

Jadi, nilai translasi dari T1 adalah

$T_{1} = \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \end{pmatrix}$

Jawaban: B

Contoh 2 – Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri Refleksi

Persamaan garis 3x – y – 11 = 0 karena refleksi terhadap garis y = x, dilanjutkan oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks A,

$\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

adalah ….
A. –2x – 7y –11 = 0
B. 2x + 7y – 11 = 0
C. –2x – 7y + 11 = 0
D. 2y – 7x + 11 = 0
E. 2x – 7y + 11 = 0

Pembahasan:

Pertama, cari hasil bayangan dari pencerminan terhadap garis y = x.

Matriks pencerminan terhadap garis y = x adalah:

Berdasarkan rumus di atas, dapat diperoleh kesimpulan bahwa x’ = y dan y’ = x. Substitusikan nilai tersebut pada persamaan 3x – y – 11 = 0 sehingga diperoleh persamaan berikut.

3x – y – 11 = 0
3y’ – x’ – 11 = 0
– x’ + 3y’ – 11 = 0

Kedua, langkah selanjutnya adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks A,

$\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

Perhatikan langkah – langkahnya seperti berikut,

$\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3x' + 2y' \\ -x' + y' \end{pmatrix}$

Sehingga, diperoleh dua persamaan berikut.

–3x’ + 2y’ = x’’
– x’ + y’ = y’’

Berikutnya, akan dicari persamaan yang senilai dengan x’ dan y’:

Mencari nilai x’:

Metode eliminasi variabel

Mencari nilai y’:

Metode eliminasi variabel

Subtitusi hasil x’ dan y’ di atas pada persamaan – x’ + 3y’– 11 = 0:

$-x' + 3y' - 11 = 0$

$-\left( 2y'' - x'' \right) + 3\left( 3y'' - x'' \right) - 11 = 0$

$-2y'' + x'' + 9y'' - 3x'' - 11 = 0$

$-2x'' + 7y'' - 11 = 0$

$2x'' - 7y'' + 11 = 0$

Jadi, hasil akhir transformasi dari persamaan 3x – y – 11 = 0 adalah 2x – 7y + 11 = 0.

Jawaban: E

Contoh 3 – Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri Rotasi

Hasil pencerminan garis x – 2y – 2 = 0 terhadap sumbu y dan kemudian diputar dengan R[ O(0,0), 90o ] adalah ….
A. 2x – y – 4 = 0
B. x – 2y – 4 = 0
C. x – 2y – 2 = 0
D. 2x – y + 2 = 0
E. 2x – y – 4 = 0 \]

Pembahasan:

Hasil transformasi pencerminan terhadap sumbu y adalah:

Contoh Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri Refleksi

Sehingga diperoleh x’ = – x dan y’ = y, selanjutnya substitusikan kedua nilai yang diperoleh pada persamaan x – 2y – 2 = 0.

x – 2y – 2 = 0
– x’ – 2y’ – 2 = 0

Transformasi selanjutnya adalah rotasi sebesar 90oyang berpusat di O(0, 0):

$\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos \; 90^{o} & -sin \; 90^{o} \\ sin \; 90^{o} & cos \; 90^{o} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y' \\ x' \end{pmatrix}$

Substitusi nilai x’ = y’’ dan y’ = – x’’ pada persamaan –x’ – 2y’ – 2 = 0, akan diperoleh

– x’ – 2y’ – 2 = 0
– y’’ – 2(–x’’) – 2 = 0
– y’’ + 2x’’ – 2 = 0
2x’’ – y’’ + 2 = 0

Jadi, hasil pencerminan garis x – 2y – 2 = 0 terhadap sumbu y dan kemudian diputar dengan R[ O(0,0), 90o ] adalah 2x – y + 2 = 0

Jawaban: D

Contoh 4 – Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri Dilatasi

Dilatasi yang berpusat di titik (3, 1) dengan faktor skala 3, memetakan titik (5, b) ke titik (a, 10). Maka nilai a – b adalah ….
A. 15
B. 11
C. 5
D. 4
E. 2

Pembahasan:

Dilatasi dengan pusat (3, 1) dengan faktor skala 3 akan menghasilkan matriks transformasi berikut.

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 - 3 \\ b- 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} a \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ b- 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} a \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3b - 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} a \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 3b - 2 \end{pmatrix}$

Sehingga dapat diperoleh nilai a dan b:

a = 9
3b – 2 = 10
3b = 12
b = 12 : 3 = 4

Jadi, nilai a – b = 9 – 4 = 5

Jawaban: C

Sin dan Cos