Soal dan Pembahasan Trigonometri - PAT
1. Perbandingan Trigonometri
a. Besar sudut yang sesuai dengan gambar di bawah adalah...
Jawaban :
Sudut yang terbentuk searah dengan jarum jam, sehingga tandanya negatif, yakni −30∘.
Karena satu putaran sama dengan 360∘, maka −30∘ sama dengan (360−30)∘=330∘
Jadi, besar sudutnya adalah 330∘
b. Berdasarkan gambar di bawah, jika cos θ = 23, nilai x yang memenuhi adalah ...
Jawaban :
Tanpa memperhatikan gambar segitiga siku-siku yang diberikan, panjang sisi depan sudut
θ dapat dihitung dengan menggunakan Teorema Pythagoras.
Dalam hal ini, karena cos θ = 23, maka dimisalkan sa = 2 dan mi = 3, sehingga de = √32 − 22 = √5
Dengan demikian, sin θ = de mi = √53
Berdasarkan gambar yang diberikan, haruslah sin θ = 5 x.
, √53 = 5 x⇔53 √5 = 5x
Jadi, nilai x adalah 3√5
c. Tentukanlah nilai dari sin 120°+cos 201°+cos 315°!
Jawaban :
sin 120° berada pada kuadran 2, hingga nilainya tetap positif dengan besar sama seperti sin 120° = sin (180-60)° = sin 60° = 1/2 √3
cos 120° berada pada kuadran 3, hingga nilainya negatif dengan besar sama seperti cos 120° = cos (180+30)° = – cos 30° = -1/2 √3
cos 315° berada pada kuadran 4, hingga nilainya positif dengan besar sama seperti cos 315° = cos (360-45)° = cos 45° = 1/2 √2
d. Diketahui siku-siku ABC, siku-siku di C, panjang a = 4 dan b = 3.
Tentukanlah panjang sisi dan nilai perbandingan trigonometri sudut α
Jawaban :
2. Sudut Berelasi
a. setiap perbandingan trigonometri berikut, nyatakan dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya !
sin 20°
tan 40°
cos 53°
Jawaban :
sin 20° = sin (90° − 70°)
sin 20° = cos 70°
tan 40° = tan (90° − 50°)
tan 40° = cot 50°
cos 53° = cos (90° − 37°)
cos 53° = sin 37°
Jika kita perhatikan sin berubah menjadi cos, tan berubah menjadi cot dan cos berubah menjadi sin dikarenakan relasi yang digunakan adalah (90° − α) dan ketiga perbandingan trigonometri diatas bernilai positif, karena sudut 20°, 40° dan 53° berada di kuadran I.
b. Nyatakan setiap perbandingan trigonometri berikut dalam sudut 37° !
tan 143°
sin 233°
cos 323°
Jawaban :
Sudut 143° terletak pada kuadran II, sehingga tan 143° bernilai negatif.
tan 143° = tan (180° − 37°)
tan 143° = -tan 37°
Sudut 233° terletak pada kuadran III, sehingga sinus bernilai negatif.
sin 233° = sin (270° − 37°)
tan 233° = -cos 37°
Perhatikan bahwa sin berubah menjadi cos karena relasi yang digunakan (270° − α)
Sudut 323° terletak pada kuadran IV, sehingga cosinus bernilai positif.
cos 323° = cos (360° − 37°)
cos 323° = cos 37°
c. Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya
sin 30°
tan 40°
cos 53°
Jawab :
sin 30° = sin (90° − 70°)
= cos 70°
tan 40° = tan (90° − 50°)
= cot 50°
cos 3° = cos (90° − 37°)
= sin 37°
d. Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° ini:
tan 140°
sin 230°
cos 320°
Jawab :
Sudut 140° ada pada kuadran II, hingga tan 140° memiliki nilai negatif.
tan 140° = tan (180° − 37°)
= -tan 37°
Sudut 230° ada pada kuadran III, sehingga sinus memiliki nilai negatif.
sin 230° = sin (270° − 37°)
= -cos 37°
Coba perhatikan, pada sin berubah menjadi cos dikarenakan relasi yang dipakai (270° − α)
Sudut 320° ada pada kuadran IV, hingga cosinus memiliki nilai positif.
cos 320° = cos (360° − 37°)
= cos 37°
3. Aturan Sinus Cosinus dan Luas Segitiga
a. Deket segitiga ABC, dengan panjang AC = 25 cm, sudut A = 60°, dan sudut C = 75° jika sin 75° = 0,9659, tentukan panjang BC dan AB
Jawaban :
b. Diketahui segitiga ABC, dengan panjang BC = 4 cm, AC = 6 cm dan sudut C = 60°, tentukan panjang sisi AB
Jawaban :
c. Perhatikan gambar di bawah!
Panjang terowongan dicari dengan aturan cosinus:
Jawaban: A
d. Dua kapal A dan B meninggalkan pelabuhan P bersama-sama. Kapal A berlayar dengan arah 030^{o} dan kecepatan 30 km/jam, sedangkan kapal B berlayar dengan arah 090^{o} dan kecepatan 45 km/jam. Jika kedua kapal berlayar selama 2 jam, maka jarak kedua kapal tersebut adalah ….
Perhatikan gambar di bawah!
Jarak kedua kapal tersebut dapat dicari dengan aturan cosinus:
Jadi, jarak terdekat dari pelabuhan A ke C adalah 30√7 mil
4. Persamaan Trigonometri
a. Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari sin x = ½ …..
Jawaban :
b. Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari sin x = ½ …..
Jawaban :
c. Jika sin(x-600)° = cos(x-450)° maka nilai dari tan x adalah …..
Jawaban :
d. Himpunan penyelesaian dari cos (x-15°) = ½√3 untuk 0o ≤ x ≤ 360o adalah…..
Jawaban :
5. Grafik Trigonometri
a.Grafik fungsi berikut adalah sketsa grafik dari y = a cos k x. Nilai a dan k berturut-turut adalah..
Jawaban :
Nilai a ditentukan oleh nilai maksimum dan nilai minimum fungsi, yakni a = N. Maksimum − N. Minimum 2 = 2 − (−2) 2 = 2
Grafik menunjukkan bahwa saat x = 0, nilai fungsinya −2, begitu juga saat x = 2π. Ini berarti, periode grafiknya adalah 2π, sehingga dengan menggunakan rumus periode, diperoleh 2π = 2π k⇔k = 1
Jadi, a dan k berturut-turut adalah a = −2 dan k = 1
b. Lukislah fungsi trigonometri f(x) = 3.sin x dalam interval 0o< x ≤ 360o
Jawaban :
c. Lukislah fungsi trigonometri f(x) = 3.sin x dalam interval 0o< x ≤ 360o
Jawaban :
d. Lukislah fungsi trigonometri f(x) = 2.cos x dalam interval 0o< x ≤ 360o
Jawaban :
a. Besar sudut yang sesuai dengan gambar di bawah adalah...
Jawaban :
Sudut yang terbentuk searah dengan jarum jam, sehingga tandanya negatif, yakni −30∘.
Karena satu putaran sama dengan 360∘, maka −30∘ sama dengan (360−30)∘=330∘
Jadi, besar sudutnya adalah 330∘
b. Berdasarkan gambar di bawah, jika cos θ = 23, nilai x yang memenuhi adalah ...
Jawaban :
θ dapat dihitung dengan menggunakan Teorema Pythagoras.
Dalam hal ini, karena cos θ = 23, maka dimisalkan sa = 2 dan mi = 3, sehingga de = √32 − 22 = √5
Dengan demikian, sin θ = de mi = √53
Berdasarkan gambar yang diberikan, haruslah sin θ = 5 x.
, √53 = 5 x⇔53 √5 = 5x
Jadi, nilai x adalah 3√5
c. Tentukanlah nilai dari sin 120°+cos 201°+cos 315°!
Jawaban :
sin 120° berada pada kuadran 2, hingga nilainya tetap positif dengan besar sama seperti sin 120° = sin (180-60)° = sin 60° = 1/2 √3
cos 120° berada pada kuadran 3, hingga nilainya negatif dengan besar sama seperti cos 120° = cos (180+30)° = – cos 30° = -1/2 √3
cos 315° berada pada kuadran 4, hingga nilainya positif dengan besar sama seperti cos 315° = cos (360-45)° = cos 45° = 1/2 √2
d. Diketahui siku-siku ABC, siku-siku di C, panjang a = 4 dan b = 3.
Tentukanlah panjang sisi dan nilai perbandingan trigonometri sudut α
Jawaban :
2. Sudut Berelasi
a. setiap perbandingan trigonometri berikut, nyatakan dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya !
sin 20°
tan 40°
cos 53°
Jawaban :
sin 20° = sin (90° − 70°)
sin 20° = cos 70°
tan 40° = tan (90° − 50°)
tan 40° = cot 50°
cos 53° = cos (90° − 37°)
cos 53° = sin 37°
Jika kita perhatikan sin berubah menjadi cos, tan berubah menjadi cot dan cos berubah menjadi sin dikarenakan relasi yang digunakan adalah (90° − α) dan ketiga perbandingan trigonometri diatas bernilai positif, karena sudut 20°, 40° dan 53° berada di kuadran I.
b. Nyatakan setiap perbandingan trigonometri berikut dalam sudut 37° !
tan 143°
sin 233°
cos 323°
Jawaban :
Sudut 143° terletak pada kuadran II, sehingga tan 143° bernilai negatif.
tan 143° = tan (180° − 37°)
tan 143° = -tan 37°
Sudut 233° terletak pada kuadran III, sehingga sinus bernilai negatif.
sin 233° = sin (270° − 37°)
tan 233° = -cos 37°
Perhatikan bahwa sin berubah menjadi cos karena relasi yang digunakan (270° − α)
Sudut 323° terletak pada kuadran IV, sehingga cosinus bernilai positif.
cos 323° = cos (360° − 37°)
cos 323° = cos 37°
c. Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya
sin 30°
tan 40°
cos 53°
Jawab :
sin 30° = sin (90° − 70°)
= cos 70°
tan 40° = tan (90° − 50°)
= cot 50°
cos 3° = cos (90° − 37°)
= sin 37°
d. Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° ini:
tan 140°
sin 230°
cos 320°
Jawab :
Sudut 140° ada pada kuadran II, hingga tan 140° memiliki nilai negatif.
tan 140° = tan (180° − 37°)
= -tan 37°
Sudut 230° ada pada kuadran III, sehingga sinus memiliki nilai negatif.
sin 230° = sin (270° − 37°)
= -cos 37°
Coba perhatikan, pada sin berubah menjadi cos dikarenakan relasi yang dipakai (270° − α)
Sudut 320° ada pada kuadran IV, hingga cosinus memiliki nilai positif.
cos 320° = cos (360° − 37°)
= cos 37°
3. Aturan Sinus Cosinus dan Luas Segitiga
a. Deket segitiga ABC, dengan panjang AC = 25 cm, sudut A = 60°, dan sudut C = 75° jika sin 75° = 0,9659, tentukan panjang BC dan AB
Jawaban :
b. Diketahui segitiga ABC, dengan panjang BC = 4 cm, AC = 6 cm dan sudut C = 60°, tentukan panjang sisi AB
Jawaban :
c. Perhatikan gambar di bawah!
Panjang terowongan dicari dengan aturan cosinus:
Jawaban: A
d. Dua kapal A dan B meninggalkan pelabuhan P bersama-sama. Kapal A berlayar dengan arah 030^{o} dan kecepatan 30 km/jam, sedangkan kapal B berlayar dengan arah 090^{o} dan kecepatan 45 km/jam. Jika kedua kapal berlayar selama 2 jam, maka jarak kedua kapal tersebut adalah ….
Perhatikan gambar di bawah!
Jarak kedua kapal tersebut dapat dicari dengan aturan cosinus:
Jadi, jarak terdekat dari pelabuhan A ke C adalah 30√7 mil
4. Persamaan Trigonometri
a. Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari sin x = ½ …..
Jawaban :
b. Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari sin x = ½ …..
Jawaban :
Jawaban :
d. Himpunan penyelesaian dari cos (x-15°) = ½√3 untuk 0o ≤ x ≤ 360o adalah…..
Jawaban :
5. Grafik Trigonometri
a.Grafik fungsi berikut adalah sketsa grafik dari y = a cos k x. Nilai a dan k berturut-turut adalah..
Jawaban :
Nilai a ditentukan oleh nilai maksimum dan nilai minimum fungsi, yakni a = N. Maksimum − N. Minimum 2 = 2 − (−2) 2 = 2
Grafik menunjukkan bahwa saat x = 0, nilai fungsinya −2, begitu juga saat x = 2π. Ini berarti, periode grafiknya adalah 2π, sehingga dengan menggunakan rumus periode, diperoleh 2π = 2π k⇔k = 1
Jadi, a dan k berturut-turut adalah a = −2 dan k = 1
b. Lukislah fungsi trigonometri f(x) = 3.sin x dalam interval 0o< x ≤ 360o
Jawaban :
Jawaban :
d. Lukislah fungsi trigonometri f(x) = 2.cos x dalam interval 0o< x ≤ 360o
Jawaban :
Komentar
Posting Komentar